Champ moyen et autres modèles effectifs en physique mathématique / Mean-field and other effective models in mathematical physics

Séjour d’étude organisé par Mathieu Lewin (Université Paris Dauphine, France) du 20 au 25 mai 2019

Résumé 

Le séminaire visait à réunir des spécialistes mondiaux sur les aspects mathématiques des modèles approchant l’équation de Schrödinger et permettant de décrire la matière à l’échelle microscopique. La plupart des exposés ont concerné les gaz quantiques (bosoniques et fermioniques) et le problème de décrire les corrélations entre les particules ou les transitions de phase.

Compte-rendu

Objectifs du séminaire

L’équation de Schrödinger est souvent considérée comme une merveille mathématique. Elle tient en une ligne et peut, en principe, décrire de façon très précise le comportement d’objets quantiques dont la taille peut aller de celle des atomes (une molécule d’eau par exemple) à celle des étoiles (les magnetars par exemple), en passant par des macromolécules biologiques (comme des fragments d’ADN). Malheureusement, cette apparente simplicité mathématique est un leurre, auquel font face physiciens et chimistes depuis presque 100 ans. Résoudre cette équation (numériquement, avec une précision suffisante pour arriver à des prédictions pointues) est en effet une entreprise impossible avec les techniques informatiques actuelles, dès que le nombre de particules devient trop grand (de l’ordre de 10).

Dans les dernières décennies, les chercheurs ont développé une panoplie de modèles plus ou moins précis, approchant les solutions de l’équation de Schrödinger, et qui permettent de prédire avec une plus ou moins grande précision le comportement d’objets quantiques. On parle de « modèles effectifs ». Alors que les propriétés de l’équation originelle de Schrödinger ont intéressé les mathématiciens depuis le début du 20ème siècle, les chercheurs ne se sont intéressés aux modèles approchés que plus récemment, essentiellement à partir des années 80.

L’objectif du séminaire était de réunir les spécialistes mondiaux travaillant sur la dérivation de ces modèles effectifs à partir de l’équation originelle de Schrödinger, afin de résumer les avancées récentes les plus notables et de discuter de possibles pistes de recherche pour l’avenir. En plus des spécialistes les plus pointus sur le sujet, ont été invités des chercheurs d’horizons un peu différents, afin de créer de nouveaux liens et de possiblement encourager de nouvelles collaborations.

Divers sujets ont été particulièrement abordés dans les exposés et les discussions. On retiendra en particulier le cas de la correction de Lee-Huang-Yang pour le gaz de bosons dilué, dont la première preuve mathématique a été présentée par Soeren Fournais (Aarhus, Danemark) et Jan Philip Solovej (Copenhague, Danemark). Elliott H. Lieb a décrit un modèle qu’il avait inventé en 1963 pour décrire le gaz de bosons à toute densité, et a mentionné de nouveaux résultats concernant cette théorie, ainsi que diverses pistes de recherche possibles dans cette direction. Antti Knowles (Genève, Suisse), Phan Thanh Nam (Munich, Allemagne) et Markus Holzmann (Grenoble, France) ont abondamment discuté de comment la transition de phase de Bose-Einstein peut être décrite en utilisant une théorie classique des champs renormalisée. Benjamin Schlein (Zurich, Suisse) et Robert Seiringer (Vienne, Autriche) ont présenté une revue des résultats connus concernant le polaron dans le régime de forte interaction avec un milieu polarisable. Finalement, Frédéric Chevy (Paris, France), Niels Benedikter (Vienne, Autriche) et Christian Hainzl (Munich, Allemagne) ont discuté de la description de l’appariement des fermions et du modèle de Bardeen-Cooper-Schrieffer. Bien d’autres sujets ont été abordés par les autres participants durant les discussions animées.

Participants

La liste des participants a été préparée afin de réunir les plus grands spécialistes du domaine, tout en invitant une proportion notable de jeunes chercheurs (3 chercheurs ayant soutenu leur thèse il y a moins de 7 ans, sur 20 participants) et d’experts de sujets connexes. En particulier, le séminaire comprenait 5 physiciens (Frédéric Chevy, Markus Holzmann, Elliott H. Lieb, Alice Sinatra, Jakob Yngvason), les autres participants étant tournés vers une approche plus mathématique. Nous étions ravis de pouvoir accueillir Elliott H. Lieb (Princeton, USA), le spécialiste mondial du domaine. La pyramide d’âge s’étend de 27 ans (Thomas Leblé) à 87 ans (Elliott H. Lieb).

Organisation

Tous les participants (sauf l’organisateur) ont fait un exposé, d’une durée de 40 minutes. Une longue plage horaire a été planifiée après le repas afin de permettre des discussions approfondies.

Impact

Dans les sciences fondamentales il est difficile de prévoir l’impact exact d’une telle réunion sur le court terme. Toutefois, les commentaires des participants laissent penser que le séminaire aux Treilles a été un événement marquant dans la communauté, et que de nouvelles collaborations pourraient émerger. La qualité de l’accueil ainsi que des espaces de travail et de vie a été un élément déterminant dans le succès de la rencontre.

Communications

• Niels BENEDIKTER (IST Austria, Klosterneuburg, Austria) – Bosonization in the High-Density Fermi Gas
• Fernando BRANDAO (Caltech, Pasadena, USA) – Quantum de Finetti theorems in quantum information theory
• Frédéric CHEVY (ENSA Toulouse, France) – Dynamics of ultracold Fermi gases: Gross-Pitaevskii and beyond
• Soeren FOURNAIS (Aarhus University, Danemark) The second order correction to the energy of dilute Bose gases
• François GOLSE (École Polytechnique, Palaiseau, France) – Empirical Measures and Quantum Dynamics
• David GONTIER (CEREMADE, Paris, France) – Symmetry Breaking in the Hartree-Fock Homogeneous Electron Gas
• Christian HAINZL (LMU, Munich, Allemagne) – Aspects of the BCS theory of superconductivity
• Markus HOLZMANN (LPMMC CNRS, Grenoble, France) – The phase transition of a dilute Bose gas in two and three dimensions
• Antti KNOWLES (University of Geneva, Genève, Suisse) – Gibbs measures of nonlinear Schrödinger equations and many-body quantum mechanics
• Jonas LAMPART (CNRS, Dijon, France) – Some properties of the time-dependent potential-to-density mapping
• Thomas LEBLÉ (Courant Institute of Mathematical Science, New York, USA) – Classical systems with Coulomb/Riesz interactions
• Matthieu LEWIN (Université Paris Dauphine, France) – Open mathematical problems for quantum gases
• Lieb ELLIOTT (Princeton University, Princeton, USA) – A study of a simple equation that describes the ground-state energy of a Bose gas at low and high density and in dimensions one, two and three
• Thanh NAM PHAN (LMU, Munich, Germany) – Nonlinear Gibbs measures as the limit of equilibrium quantum Bose gases
• Simona ROTA NODARI (Institut Mathématique de Bourgogne, Dijon, France) – The relativistic semi-classical equation for a nucleon and its non-relativistic limit
• Benjamin SCHLEIN (University of Zurich, Switzerland) – Dynamics of a polaron: accuracy of the Landau-Pekar equations
• Robert SEIRINGER (Institute of science and technology, Klosterneuburg, Austria) – The polaron at strong coupling
• Alice SINATRA (ENS, Paris, France) – A microscopic derivation of the condensate phase operator evolution in a weakly excited gas
• Jan Philip SOLOVEJ (University of Copenhagen, Denmark) – A leading order lower bound on the energy of dilute Bose gases with a sharp error term
• Jakob YNGVASON (University of Vienna, Austria) – Asymptotic Exactness of Magnetic Thomas-Fermi Theory at Nonzero Temperature