Etude des modèles d’endommagement en dynamique

Séjour d’étude organisé par Jean-Jacques Marigo du 22 au 27 mai 2023.

 

Participants

Jean-Jacques MARIGO (Ecole polytechnique – Palaiseau), Corrado MAURINI (Sorbonne-Université, Paris), Sébastien NEUKIRCH (CNRS et Sorbonne Université, Paris).

Résumé
Les réseaux de fissures complexes sont omniprésents dans la nature et dans les applications technologiques. Les sols qui s’assèchent, les fronts de lave qui se solidifient, les peintures qui vieillissent, les barrières thermiques dans les pales des turbomachines sont quelques exemples de systèmes où apparaissent de fascinants réseaux de fissures. La compréhension de leurs mécanismes de nucléation et de morphogenèse est encore partielle. 
Au cours de cette résidence, nous avons étudié la création de réseaux de fissures complexes sous l’effet de charges dynamiques. Nous avons établi un modèle mathématique et développé un code numérique pour la simulation de ces phénomènes. Les résultats seront partagés avec la communauté sous la forme d’un article de recherche.

 

Abstract 
Complex crack patterns are ubiquitous in nature and in technology applications. Drying soils, solidifying lava fronts, aging paintings, thermal barriers in turbine rotor blades are few examples of systems where fascinating crack networks appear. The understanding of their nucleation and morphogenisis mechanisms is still partial. 
During this residence, we studied the creation of complex crack patterns under dynamic loading. We established a mathematical model and developed a numerical code for the simulation of these phenomena. The results will be shared with the community in the form of a research article.

 

Compte rendu

Détail du Pélerinage à l’île de Cythère (1717, huile sur toile) de Antoine Watteau (source photo : fr.wikipedia.org).

Les structures volcaniques de la Chaussée des Géants en Irlande, les craquelures des vieux tableaux de maîtres (voir figure), des simples fissures dans un mur, le broyage des gravats : le point commun de tous ces phénomènes est la mécanique de la rupture. Prédire la valeur de la charge critique pour laquelle une fissure apparaît est notoirement difficile : à quel degré d’hygrométrie (de séchage) la peinture va-t-elle craqueler ? Quelle force de compression appliquer sur une pierre pour la broyer ? Ce problème d’amorçage de la fissuration correspond à une instabilité dans la courbe de chargement du système, et le caractère sous-critique (abrupt) de celle-ci complique l’étude du phénomène. Une autre difficulté est la forme que prend le réseau de fissures, car une fois les fissures apparues, il faut pouvoir calculer dans quelle direction chacune d’elles va se propager. Un des outils que les scientifiques ont mis en place pour faire face à ces deux difficultés est l’introduction de la notion d’endommagement : plutôt que d’avoir la seule alternative entre matériau sain et matériau cassé, un modèle d’endommagement introduit une variable α qui varie continument entre α = 0 (matériau sain) et α = 1 (matériau cassé) et qui donne la santé (ou les points de vie) du matériau. Le modèle définit alors le lien entre α et les forces dans le matériau, ainsi que la loi d’évolution de α : la valeur de α ne peut que croître et si dans un endroit de la structure étudiée α atteint 1, une fissure apparaît.

Les modèles d’endommagement à gradient (aussi dénommés dans la littérature modèles à champ de phase) connaissent un très grand succès depuis une vingtaine d’années grâce à leur capacité à modéliser la rupture des matériaux et des structures. D’un point de vue numérique, ils sont faciles à implémenter et à mettre en oeuvre, ne nécessitant que l’usage d’éléments finis classiques sans avoir à gérer des discontinuités de déplacement et se libérant ainsi d’un des défauts majeurs des approches classiques, ce qui permet en particulier de gérer des trajets de fissuration arbitraires. Lorsque le chargement est lent (en quasi-statique), le caractère adoucissant des modèles d’endommagement rend la fonctionnelle énergie non convexe et conduit à des phénomènes de localisation de la déformation qui sont contrôlés par les termes en gradient d’endommagement ainsi qu’à des multiplicités de solutions avec des phénomènes de bifurcation de branches de solutions qu’il faut trier à l’aide de critères de stabilité (type minima locaux de l’énergie).

En dynamique, quand les effets d’inertie apparaissent, les choses sont moins claires, notamment parce qu’on ne peut plus s’appuyer sur les concepts classique d’instabilité et de bifurcation. Si on peut raisonnablement penser que les termes en gradient continueront à jouer leur rôle de limiteurs de la localisation, on ne sait plus dire grand chose sur les questions d’unicité et d’instabilité de solutions. De plus les essais numériques réalisés à ce jour ne sont que partiellement satisfaisants quand on les compare à des faits expérimentaux bien ́établis, et même quand on arrive à rendre compte de certaines propriétés constatées il reste de nombreuses zones d’ombre quant à l’explication de cet accord.

Durant cette semaine, nous nous sommes donc penchés sur ces questions de rupture dynamique, en travaillant tout d’abord sur des modèles d’endommagement à nombre fini de degrés de liberté (autrement dit sur des systèmes discrets). Une question importante est la prédiction du nombre de fragments dans une expérience de fragmentation d’une pièce. Si une barre est soumise à un étirement brutal, elle va s’endommager au départ uniformément, pour ensuite se fragmenter en plusieurs morceaux. La prédiction du nombre et de la taille de ces morceaux est le point clef de la modélisation. Nous avons donc considéré la solution homogène (endommagement uniforme) comme solution de base et conduit un calcul de stabilité linéaire pour établir un critère d’instabilité et de sélection du nombre de fragments (mode instable croissant le plus rapidement). Les résultats montrent que cette fragmentation dynamique dépend fortement du modèle matériau. En parallèle, nous avons mis en place un code numérique éléments finis pour corroborer les calculs analytiques de stabilité linéaire. Il semble que ce type d’expérience puisse à terme être utilisée pour discriminer les matériaux dans leur comportement fragile et que cette approche puisse être généralisée à des pièces plus complexes que de simples barres unidimensionnelles.

Nous remercions ici la Fondation des Treilles qui nous a permis de nous réunir et de travailler dans des conditions optimales.



Citer ce billet
ldiebold (2023, 26 juin). Etude des modèles d’endommagement en dynamique. Les carnets de la Fondation des Treilles. Consulté le 26 février 2024, à l’adresse https://doi.org/10.58079/qv82

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