Etude des modèles d’endommagement en dynamique

Les modèles d’endommagement à gradient (aussi dénommés dans la littérature modèles à champ de phase) connaissent un très grand succès depuis une vingtaine d’années grâce à leur capacité à modéliser la rupture des matériaux et des structures. D’un point de vue numérique, ils sont faciles à implémenter et à mettre en oeuvre, ne nécessitant que l’usage d’éléments finis classiques sans avoir à gérer des discontinuités de déplacement et se libérant ainsi d’un des défauts majeurs des approches classiques, ce qui permet en particulier de gérer des trajets de fissuration arbitraires. Lorsque le chargement est lent (en quasi-statique), le caractère adoucissant des modèles d’endommagement rend la fonctionnelle énergie non convexe et conduit à des phénomènes de localisation de la déformation qui sont contrôlés par les termes en gradient d’endommagement ainsi qu’à des multiplicités de solutions avec des phénomènes de bifurcation de branches de solutions qu’il faut trier à l’aide de critères de stabilité (type minima locaux de l’énergie).

En dynamique, quand les effets d’inertie apparaissent, les choses sont moins claires, notamment parce qu’on ne peut plus s’appuyer sur les concepts classique d’instabilité et de bifurcation. Si on peut raisonnablement penser que les termes en gradient continueront à jouer leur rôle de limiteurs de la localisation, on ne sait plus dire grand chose sur les questions d’unicité et d’instabilité de solutions. De plus les essais numériques réalisés à ce jour ne sont que partiellement satisfaisants quand on les compare à des faits expérimentaux bien ́établis, et même quand on arrive à rendre compte de certaines propriétés constatées il reste de nombreuses zones d’ombre quant à l’explication de cet accord.

Durant cette semaine, nous nous sommes donc penchés sur ces questions de rupture dynamique, en travaillant tout d’abord sur des modèles d’endommagement à nombre fini de degrés de liberté (autrement dit sur des systèmes discrets). Une question importante est la prédiction du nombre de fragments dans une expérience de fragmentation d’une pièce. Si une barre est soumise à un étirement brutal, elle va s’endommager au départ uniformément, pour ensuite se fragmenter en plusieurs morceaux. La prédiction du nombre et de la taille de ces morceaux est le point clef de la modélisation. Nous avons donc considéré la solution homogène (endommagement uniforme) comme solution de base et conduit un calcul de stabilité linéaire pour établir un critère d’instabilité et de sélection du nombre de fragments (mode instable croissant le plus rapidement). Les résultats montrent que cette fragmentation dynamique dépend fortement du modèle matériau. En parallèle, nous avons mis en place un code numérique éléments finis pour corroborer les calculs analytiques de stabilité linéaire. Il semble que ce type d’expérience puisse à terme être utilisée pour discriminer les matériaux dans leur comportement fragile et que cette approche puisse être généralisée à des pièces plus complexes que de simples barres unidimensionnelles.

Nous remercions ici la Fondation des Treilles qui nous a permis de nous réunir et de travailler dans des conditions optimales.