Réflexions philosophiques des mathématiciens et avancées mathématiques : le cas de Poncelet

Séjour d’étude de Karine Chemla (SPHERE, CNRS & Université Paris Cité) & Bruno Belhoste (IHMC, Université Paris 1 Panthéon Sorbonne & CNRS) du 26 septembre au 15 octobre 2022.

Résumé

Les premiers travaux géométriques de Poncelet (source: SABIX, Ecole Polytechnique)

Jean-Victor Poncelet (1788-1867) se revendique comme un mathématicien philosophe — un trait qu’il partage, selon lui, avec d’autres savants comme Sylvestre-François Lacroix (1765-1843) et André-Marie Ampère (1775-1836), mais qui l’oppose à des mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Sa réflexion philosophique est nourrie par de nombreuses lectures de textes mathématiques du passé, et il la met en œuvre au service d’un projet crucial à ses yeux : développer en géométrie des concepts et des méthodes spécifiques, propres à doter cette science d’une généralité et d’une systématicité qui paraissaient jusqu’alors être l’apanage de l’analyse. La recherche que nous avons menée aux Treilles s’est concentrée sur deux points. Nous avons commencé à explorer comment la formation de Poncelet à l’École Polytechnique entre 1807 et 1810 a pu contribuer à façonner sa pratique mathématique. Ce travail nous a amenés à éclairer, en particulier, l’importance qu’ont revêtus la constitution, dès les premières années de l’École, d’une bibliothèque qui se voulait de référence pour « les sciences et les arts », ainsi que les usages que professeurs comme élèves faisaient de cette collection à des fins de réflexion mathématique. Des documents montrent effectivement Poncelet pratiquant passionnément, avec des camarades, la lecture de textes du passé, en se concentrant sur leurs méthodes. Nous nous sommes par ailleurs penchés sur l’introduction par Poncelet du concept clef d’élément idéal — celle-là même qui devait être reprise en 1845 par Ernst Eduard Kummer (1810- 1893). A cette fin, nous avons analysé les transformations, pour des théorèmes apparentés, entre les techniques de démonstration mises en œuvre dans les premiers travaux de Poncelet lors de sa captivité à Saratov (1813-1814) et ses démonstrations ultérieures qui font précisément appel aux éléments idéaux.

Abstract

Jean-Victor Poncelet (1788-1867) conceived of himself as a mathematician-philosopher — a feature that, in his view, he shared with other savants such as Sylvestre-François Lacroix (1765-1843) and André-Marie Ampère (1775-1836), but which opposed him to mathematicians such as Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). His philosophical reflection was rooted in the reading of mathematical texts from the past, and he put philosophical analysis at the service of a project that in his eyes was crucial: the development of specific concepts and methods in geometry, capable of endowing this science with a generality and systematicity that had until then seemed to be the prerogative of analysis. The research work that we carried out at Les Treilles concentrated on two points. We have begun to explore the way in which Poncelet’s training at the École Polytechnique between 1807 and 1810 may have contributed to shaping his mathematical practice. This work has, in particular, led us to highlight the importance of two factors: the constitution — during the first years of the École — of a library that was intended as a book collection of reference for “the sciences and the arts”, as well as the uses that both professors and students made of this collection for their mathematical reflection. Indeed, documents show Poncelet avidly reading texts from the past with his classmates, with a focus on their methods. We have also examined Poncelet’s introduction of the key concept of ideal elements — the very concept that was to be taken up again in 1845 by Ernst Eduard Kummer (1810-1893). To this end, we have analyzed the transformations, for related theorems, between the techniques of proof used in Poncelet’s first works during his captivity in Saratov (1813-1814) and his later demonstrations which precisely call upon the ideal elements.

Compte rendu

Le projet de recherche que nous avons lancé lors de notre séjour aux Treilles (26 septembre-15 octobre 2022) vise à proposer, d’ici quelques années, une biographie de Jean-Victor Poncelet (1788-1867). Les travaux de ce mathématicien et mécanicien du XIXe siècle n’ont fait l’objet que de publications partielles, lesquelles se sont concentrées sur tel ou tel pan de ses réflexions sans toujours offrir d’interprétation satisfaisante des concepts élaborés par Poncelet et placés au cœur de son œuvre comme celui d’« idéal ». Il n’existe de fait à ce jour aucune analyse approfondie qui s’appuierait sur l’ensemble des écrits de ce savant, en dépit de l’importance cruciale de son apport, en particulier de sa contribution décisive à la création de ce qui deviendra la géométrie projective. Au rebours des recherches déjà consacrées à Poncelet et à son travail, notre biographie vise, entre autres objectifs, à rendre compte de ses écrits de façon globale. En outre, nous nous intéressons tout particulièrement à la manière dont les avancées significatives dont témoigne son œuvre procèdent d’une pratique des mathématiques alliant travail mathématique et réflexions historiques aussi bien que philosophique.

Certes, Poncelet est loin d’être le seul praticien des mathématiques à avoir, à l’époque, mené des travaux historiques ou contribué à ce qu’on appelait alors la « philosophie mathématique ». Il était lui-même en contact direct, voire intime, avec plusieurs autres savants qui associaient mathématiques et histoire (comme Charles-Julien Brianchon (1783-1864)) ou mathématiques et philosophie. Pour reprendre son expression, Poncelet se voyait sans doute comme un « géomètre philosophe », s’inscrivant de ce fait dans la lignée de ses « professeurs philosophes » qu’avaient été Sylvestre-François Lacroix (1765-1843) et André-Marie Ampère (1775-1836), mais se distinguant sur ce point de mathématiciens qui faisaient montre de peu d’« intelligence philosophique » comme Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Toutefois, dans ce contexte, nous défendons l’idée que notre géomètre a allié ces trois facettes (mathématiques, histoire et philosophie des mathématiques) d’une manière qui lui était spécifique et qu’à cet égard, il a influencé des mathématiciens ultérieurs comme Michel Chasles (1793-1880) et Ernst Kummer (1810- 1893).

Dans le contexte de ce projet, notre travail aux Treilles nous a permis d’avancer sur deux fronts.

Nous avons, tout d’abord, pu rédiger une première version d’un chapitre relatif au processus d’élaboration de cette pratique des mathématiques (Belhoste et Chemla 2023a). Nous y mettons en lumière le rôle joué, sur ce plan, par la formation que notre auteur a reçue à l’École Polytechnique, entre 1807 et 1810. Nous montrons, dans un premier temps, l’impact qu’ont pu avoir sur Poncelet des traits caractéristiques de l’enseignement des mathématiques dans le contexte de cette École, insistant notamment sur l’encouragement au travail et à la lecture collectifs qu’y recevaient les élèves. Ces remarques nous ont amené à nous pencher, dans un second temps, sur l’histoire de la bibliothèque de l’École Polytechnique au cours des premières décennies de cette institution, dans la mesure où elle s’est avérée importante pour le développement de la pensée de Poncelet. Sous l’égide de Pierre Jacotot (1756-1821), mais surtout de François Peyrard (1759-1822) — ses deux premiers bibliothécaires —, cette bibliothèque a été rapidement dotée d’une collection d’ouvrages de référence qui permettait aux professeurs, aux élèves aussi bien qu’aux chercheurs de passage de consulter les livres mathématiques et les journaux scientifiques les plus importants. Peyrard lui-même, ainsi que d’autres savants liés de près ou de loin à l’établissement, ont pu mettre à profit ces ouvrages pour leurs travaux historiques. Pour mieux dégager l’impact de cette collection sur le travail scientifique qui se menait au sein de l’École Polytechnique, nous avons dépouillé un journal qui y fut fondé en 1804 à l’intention des étudiants, à savoir : la Correspondance pour l’École Polytechnique à l’usage des élèves de cette école. Nous montrons comment ce périodique éclaire la manière dont professeurs comme élèves mettaient en œuvre les ressources de la bibliothèque pour y trouver de nouveaux problèmes ou des méthodes d’approches différentes pour des problèmes anciens, dans un contexte dans lequel la comparaison entre méthodes formait l’une des dimensions essentielles de l’enseignement mathématique délivré à l’École.

Le second pan de notre travail aux Treilles a concerné l’introduction par Poncelet du concept d’« idéal » en géométrie, en particulier dans son Traité des propriétés projectives des figures (Poncelet 1822). Cette question nous amène plus spécifiquement aux relations entre activité mathématique et réflexion philosophique dans les recherches de Poncelet, et nous y avons consacré un second article qui a vocation à devenir un autre chapitre de notre ouvrage (Belhoste et Chemla 2023b).

Aussi central que puisse être ce concept chez Poncelet, le sens que lui donne notre auteur et le rôle qu’il lui confère dans son édifice théorique n’ont, à notre connaissance, toujours pas fait l’objet d’un traitement adéquat. Par suite, nombre de publications ne sont pas en mesure de rendre compte de l’opposition que Poncelet formule explicitement entre « imaginaire » et « idéal », voire avancent l’idée que les éléments idéaux seraient ces points et droites à l’infini que Poncelet considère effectivement. Ce flou interprétatif ne permet pas de comprendre en quoi l’apport de Poncelet se distinguerait de celui d’un Girard Desargues au XVIIe siècle, et certains historiens ont pu ainsi réduire son rôle dans l’émergence de la géométrie projective à celui d’avoir ressuscité des idées anciennes qui auraient été oubliées. Cette historiographie s’accompagne d’une évaluation à notre avis inexacte du sens de la géométrie projective, lorsque cette dernière est vue comme s’inscrivant pour l’essentiel dans la continuité des techniques de perspective mises au point par les peintres du Quattrocento. A nos yeux, cette interprétation laisse de côté des dimensions clefs de la géométrie telle que la concevaient des auteurs comme Poncelet dans les premières décennies du XIXe siècle. En particulier, nous défendons la thèse qu’elle sousestime l’importance historique concrète du « principe de continuité », que Poncelet est le premier à formuler, ainsi que celle du concept d’« idéal », qui lui est intimement associé. Or tant le principe que le concept procèdent d’une réflexion sur les raisons fondamentales pour lesquelles l’application des méthodes analytiques à la géométrie dote les résultats d’une généralité qui fait défaut à une géométrie pratiquée à l’ancienne.

Cette historiographie du concept d’« idéal » nous a paru puissamment influencée par l’interprétation de la « méthode des éléments idéaux » qu’a avancée David Hilbert (1919, 1926). Il ne s’agit pas de nier la légitimité du mathématicien Hilbert à proposer son analyse d’une méthode qui a joué un rôle important dans sa propre pensée. Mais projeter rétroactivement sa vision sur des auteurs comme Poncelet, c’est s’interdire de comprendre ce qu’ils ont réellement fait. Notre travail, au rebours de cette pratique historiographique, a plongé au cœur des démonstrations dans lesquelles Poncelet mobilise pour la première fois le concept d’« idéal » pour détecter les raisons théoriques et les circonstances précises qui l’ont amené à proposer de distinguer, comme il le dit,  différents modes de non-existence en mathématiques (Poncelet 1822 : 28). Nous avons ainsi analysé les premières démonstrations de son Traité mettant en œuvre sécantes et cordes idéales. Puis nous avons confronté ces raisonnements aux démonstrations des mêmes propositions, dans des écrits antérieurs au fil desquels Poncelet a élaboré ses idées. Cette approche nous a permis d’identifier le moment précis où Poncelet a introduit le concept d’« idéal » ainsi que le faisceau de termes par lesquels il a cherché à en saisir les contours. Nous avons également pu dégager les réflexions philosophiques sur la nature des figures en géométrie qui accompagnent l’introduction du concept d’« idéal ». Enfin, les transformations de ces mêmes raisonnements au fil des écrits qui mènent à l’ouvrage de 1822 nous ont permis de proposer de premiers jalons d’une histoire de la maturation par Poncelet de ce concept.

Bibliographie

Belhoste, Bruno, et Karine Chemla. 2023a (à paraître). « Mathematics, history of mathematics and Poncelet: The context of the Ecole Polytechnique ». In The Richness of the History and Philosophy of Mathematics, éds. Karine Chemla, José Ferreirós, Lizhen Ji, Erhard Scholz, et Chang Wang. Cham : Springer.

Belhoste, Bruno, et Karine Chemla. 2023b  (à paraître). « Ideal chords in Poncelet’s work, from Saratov notebooks to the Traité des propriétés projectives des figures ». In Episodes from the History of Mathematics: Essays in Honor of Jesper Lützen, éds. Toke Lindegaard Knudsen et Jessica Carter. Berlin : De Gruyter.

Chemla, Karine. 2021. « Hourya : un témoignage et une relecture de Corps et modèles ». In L’épistémologie du dedans. Mélanges en l’honneur d’Hourya Benis-Sinaceur, éds. Emmylou Haffner et David Rabouin, 501-513. Paris : Classiques Garnier.

Hilbert, David. 1919 [1992]. ‘Die Rolle von idealen Gebilden’, in David Hilbert. Natur und mathematisches Erkennen. Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays, éd. David Rowe, 90-101. Basel : Birkhäuser.

Hilbert, D. (1926) ‘Über das Unendliche’, Mathematische Annalen, 95, pp. 161-190.

Poncelet, J.-V. (1822) Traité des propriétés projectives des figures; ouvrage utile à ceux qui s’occupent des applications de la géométrie descriptive et d’opérations géométriques sur le terrain. Paris : Bachelier, libraire, quai des Augustins.