Complexités et temporalités en musique et en physique

Colloque organisé par Jean-Pierre Boon et Claude Helffer du 28 juillet au 1er août 1992

Participants

Philippe Albèra (Contrechamps, Genève), Jean-Pierre Boon (Université Libre de Bruxelles (ULB), André Boucourechliev (compositeur), Jean-Louis Chautemps (musicien), David Epstein (Massachusetts Institute of Technology), Etienne Guyon (École Normale Supérieure), Claude Helffer (organisateur) (pianiste), Jean-Pierre Luminet (Observatoire de Meudon), Michel Mendès-France (Université de Bordeaux I), Serge Pahaut (ULB), Michel Philippot (Conservatoire national supérieur de Paris), Ilya Prigogine (ULB), André Riotte (Université de Liège.

Compte-rendu

Cette session devait reprendre et approfondir le travail entrepris depuis deux ans auparavant (“Temps, complexité et œuvres musicales”, juillet 1990). Les travaux de la semaine ont été consacrés à la discussion des propriétés structurelles globales (calculabilité, répétitivité, déterminisme, complexité…) telles que nous les proposent les langages produits par l’évolution des sciences et de la musique.

Ilya Prigogine décrivit d’abord les horizons ouverts à la physique en cette fin de siècle. Nous avons appris que des contraintes fortes imposées à des systèmes ouverts peuvent conduire ceux-ci à déployer des structures de non-équilibre sous l’effet des relations non linéaires induites. Mais nous savons depuis peu qu’à ces structures dissipatives vient parfois s’ajouter un chaos dissipatif, qui correspond à une dynamique foncièrement irrégulière et irréversible.

La physique adopte pour décrire ces objets une échelle de grands ensembles. Les pierres des palais sont semblables à celles des cathédrales ; c’est à l’allure du bâtiment que l’on voit les différences. Il en va de même pour l’irréversibilité : nous avons dû suivre la suggestion de Popper et passer de l’échelle des horloges à celle des nuages. La mécanique classique peut alors permettre l’apparition d’une théorie statistique des systèmes chaotiques.

Pouvons-nous espérer transposer ces résultats à la mécanique quantique ? L’équation de Schrödinger est réversible et déterministe et le modèle standard associe l’apparition des probabilités à la prise de mesure. Mais il est permis d’espérer trouver une solution plus réaliste, moyennant la prise en compte de processus dynamiques instables, dans l’esprit des résonances en ce qui concerne les grands systèmes étudiés par Poincaré.

Serge Pahaut évoqua ensuite les modèles cinématiques médiévaux liés au programme de recherche du Merton College d’Oxford. Les nombres retenus pour les intervalles de la gamme par la tradition de la “musique spéculative” (3/2, 4/3, 9/8…) sont souvent liés par les commentateurs modernes à un symbolisme numérologique vague, alors qu’il s’agit d’un bagage technique lié à des travaux dont nous avons les échos dans quelques textes d’Archytas, d’Euclide et de Nicomaque. Il s’agit donc d’un contexte d’histoire des sciences, même si nous en reconnaissons mal la pertinence.

De certaines propriétés mathématiques remarquables à des hypothèses physiques parfois curieuses, les pas jadis franchis constituent pour nous autant de leçons, comme on le voit dans la fortune des nombres superparticuliers (en (n+l)/n) chez les théoriciens français du XIV^e siècle. On constate que ces nombres, dont le rôle dans la tradition musicale n’est pas encore clairement compris, ont permis une discussion sur les modèles physiques qu’illustrent certains développements de Nicole Oresme sur la plausibilité d’un univers susceptible d’une description astrologique.

Il devait revenir à Michel Philippot de consacrer les objectifs de la rencontre en montrant combien sont fortes dans la polyphonie occidentale les relations de dépendance réciproque qui s’établissent entre temps et complexité.

Dès le IX^e siècle — soit dès avant l’éclosion des formes polyphoniques — des théoriciens proposent d’appliquer aux relations entre sons simultanés (harmonies) et successifs (mélodies) des règles semblables ou déduites de l’un de ces domaines vers l’autre. Aux gammes et modes hérités de l’Antiquité pour les mélodies viennent s’ajouter des modes rythmiques et les procédés de composition articulent une organisation rationnelle des hauteurs et des durées. Cette volonté de synthèse traverse la succession de langages que l’on observe jusqu’au XX^e siècle, où elle semble en passe d’être oubliée.

Si l’on convient de distinguer complication triviale et complexité construite, on voit que la quantité d’informations nécessaire pour décrire la configuration des parties d’un agrégat n’a rien de commun avec le programme de production d’un système. L’image proposée du tas de cailloux opposée à celle de l’ordinateur devait fixer cette distinction dans la mémoire de chacun. Il n’est pas indifférent ici que les relations entre hauteurs soient dans la polyphonie occidentale définies et transposables. L’idée d’œuvre marque cette éclosion d’une musique construite et voulue. Elle posera de nouveaux problèmes, immanents à la tradition ainsi fondée, et singulièrement celui de la maîtrise de la complexité : les chefs-d’œuvre sont aussi des tours de force, qui confient un maximum d’informations à un minimum de notes. Les auditeurs furent invités à tenter de lire quelques extraits de musique polyphonique savante où se manifeste cette intention et à écouter une réalisation d’un motet de Pierre de la Rue (1460-1518).

Jean-Pierre Boon évoqua le problème de la mesure quantifiée — sans oublier que la musique est de tous les arts celui qui se prête le mieux à cette approche. La prise en compte de ce fait lui permit de recourir à un précodage du matériau musical donné par la discrétisation, traditionnelle en Occident, des intervalles de hauteur et de durée.

L’état du “système musical” est donné par la représentation des séquences polyphoniques comme révolution d’un point dans un espace discret (quantifié par le demi-ton), borné par la tessiture des instruments retenus et présentant, a priori et au plus, autant de dimensions qu’il existe de voix.

Le problème devient alors d’estimer la complexité de l’évolution du système ainsi défini. Deux approches ont été retenues. La première évalue l’allure globale d’une pièce musicale prise comme un tout achevé. Les outils relèvent alors de la dynamique qualitative, en particulier des travaux de Ruelle et Takens (mesures de dimensionnalité). La seconde tente une approche locale des suites de notes dans leurs états successifs, considérées comme des chaînes de caractères sur lesquelles on définit ensuite diverses fonctions d’information ou d’entropie. La confrontation de ces deux approches permet de poser des questions sur les affinités de pièces et de styles de diverses époques.

David Epstein présenta ensuite les résultats d’un travail en cours sur les structures temporelles dans la musique classique et romantique. Il reprit d’abord la présentation de la polarité des temps métrique et rythmique, qui fonde sa démarche. L’unité chronométrique minimale de la mesure, la battue métrique, ne doit pas être confondue avec la pulsation rythmique proprement dite, laquelle s’appuie sur plusieurs marqueurs dynamiques (accents dynamiques, progressions et instabilités harmoniques, contours des motifs mélodiques dans la phrase…). Ces facteurs sont certes très généraux ; la restriction au corpus étudié (de Mozart à Strauss) est due au seul fait qu’il nous donne accès à un grand nombre de règles et de modalités d’application.

Si les structures métriques supportent des groupements périodiques, l’intervention des figures rythmiques fait apparaître des chevauchements divers. Cette dualité se déploie particulièrement dans la succession de tempos commensurables (sur des rapports simples 1/1, 1/2, 2/3… et sur leurs inverses). Des travaux de comparaison interculturels suggèrent que ce phénomène est universel et renvoie donc à une aptitude au contrôle du temps native chez l’être humain. Mais d’autres modes de gestion du tempo, accélérations et ralentissements progressifs, ne renvoient plus à des rapports de nombres entiers, mais à des mécanismes d’optimisation simples, ce que suggère le fait qu’il est aisé de les ramener à des courbes polynomiales de degré peu élevé, comme des cubiques.

Jean-Pierre Luminet présenta quelques réflexions sur révolution de la cosmologie contemporaine comme support à la rêverie artistique. Les représentations nouvelles mises en œuvre par les physiciens depuis trois siècles les ont amenés à reconsidérer les cosmologies anciennes. Mouvement relatif, confrontation des évolutions cycliques et linéaires, révision de la notion de simultanéité dans un univers où la lumière se déplace à vitesse finie, relations nouvelles entre l’espace-temps et la pesanteur, autant d’occasions de reprendre l’étonnement qui nourrit le regard philosophique.

Pourtant, ces innovations qui ont étonné le début de notre siècle sont peu de choses devant les questions nouvelles que les dernières décennies nous ont imposées. Avec un enthousiasme communicatif, l’auteur présente divers objets d’émerveillement tels que les nouvelles techniques d’observation les mettent désormais à portée de notre écoute, comme ces phénomènes célestes mis au rendez-vous d’une œuvre musicale.

Claude Helffer choisit lui aussi le parti de confronter ses auditeurs à des objets concrets. Il montra combien deux auteurs souvent oubliés sur les marches de la modernité ont contribué à modifier la construction du temps musical.

Ce lut d’abord l’exemple de L’Isle Joyeuse de Debussy, où l’on vit comment la dynamique interne de l’œuvre défait les cadres rythmiques successifs. Les défis abondent sur la partition. La pièce commence en quatre temps pour finir en trois ; mais on entend au clavier combien la soudure est, délibérément, indécise. Un motif déployé d’abord sous les espèces d’un ostinato à quatre temps n’est posé que pour se défaire et revient sous des dynamiques et des accentuations déformantes. Sans connaître l’injonction de Schönberg “ne mettez pas ce que le copiste peut écrire à votre place”, Debussy l’applique en ne ramenant bientôt le thème que par allusions, pour marquer le point où en est le développement. Le tempo rubato, c’est le temps qui s’affecte lui-même, opposé au tempo giusto, inaltérable. Ce temps dérobé sera rendu, comme dans les négociations traditionnelles de l’arsis et de la thesis : un point haut vers lequel l’on monte à grands pas et après lequel la descente se fait à pas marqués.

Quelques années plus tard paraissent les trois Klavierstücke opus 11 de Schönberg. La première de ces pièces fait s’opposer deux types de temps : un temps pulsé à trois battues et un temps non pulsé où les cellules peuvent s’allonger ou se raccourcir.

Le rubato, dans la troisième pièce, n’est pas compensé comme chez Debussy ; au contraire, les avancées comme les retards portent au déséquilibre. Fait remarquable, la distribution des différents tempi est scandée par le quasi-refrain des etwas langsamer. Nous assistons donc à une fluidification du temps en ce début de siècle, sous des modalités diverses : ambiguïté chez Debussy, recherche d’un autre univers chez Schönberg.

La cohérence peut se faire parti pris. André Riotte montra comment prendre au sérieux la vocation historique de la musique sérielle : passer de la dissolution du monde tonal à l’explosion des possibles qui a suivi. Les contraintes adoptées par la trinité viennoise (Schönberg, Webern, Berg) et les formes canoniques d’écriture acceptées pendant plusieurs décennies renvoient sans doute à une affirmation de la portée dogmatique des systèmes de symboles. Et bientôt, la pratique sérielle devait tenter sa généralisation aux divers paramètres reconnus par les musiciens (après les hauteurs et les durées, les intensités, les attaques et les timbres). La complication guettait, que dénonça un Xenakis quand il osa poser la question de la construction des grandes formes, qui étendent des principes de structuration à une échelle plus large que celle des séries.

L’exposé a montré plusieurs tentatives de dépassement des 
limites reconnues du système. Certains auteurs ont tenté de 
relever les éléments de symétrie disponibles et les possibilités de
 production de cycles qui en découlent.

Pour expliciter ses contraintes, le musicien peut recourir à des opérations sur la matrice symétrique des intervalles (distances entre les degrés d’une échelle modulo 12, qui seront projetées en suite dans les diverses octaves de la tessiture accessible).

Translations ou transpositions, inversions, rétrogradations, autant de transformations simples connues des musiciens comme des scientifiques.

Ces opérations ont permis depuis Messiaen et Xenakis de décrire des objets neufs, comme les modes à transposition limitée et les structures non octaviantes ; mais il est possible de les utiliser pour relire certaines relations chez Schönberg ou Webern.

“L’épuisement du sujet n’est pas une exigence de l’art”. Cette proclamation, qu’avait d’entrée de jeu avancée André Riotte, citant Schönberg, rappelle combien la spatialisation des instruments de représentation reste un outil surveillé par un souci d’économie et d’élégance.

Philippe Albèra devait proposer ensuite un regard interprétatif sur les dernières décennies de ce siècle. Il situe d’abord les événements récents dans leur cadre historique. Le temps musical proprement dit avait conquis son autonomie avec l’apparition des cadences et des marches tonales du tournant du XVIIe siècle. La productivité extrême du XIX^e devait défaire ces perspectives : l’apparition de l’accord de quatre notes comme configuration stable vint bouleverser les distances acceptées dans l’espace harmonique, et bientôt les modulations se firent permanentes. Les conséquences vinrent lorsque Debussy proposa un temps suspendu, où la répétition fonde l’ambiguïté plus que l’affirmation des structures, tandis que Schönberg rompait avec la répétition. Un temps nouveau apparaît alors, ouvert aux productions de l’inconscient. Bientôt Stockhausen pourra proposer sa généralisation de l’idée de spectre harmonique pour les hauteurs, pour les séquences d’événements et jusque pour la composition des formes.

Ce déplacement de l’écoute permettra à l’oreille musicale de percevoir des événements musicaux dans ce qui auparavant n’avait que valeur de bruit. La statistique descriptive et ses dénombrements font ainsi une entrée naturelle dans la salle de concert. Les arrangements contrastés élémentaires des Carter, des Nono ou des Ligeti, inaudibles cinquante ans plus tôt, viennent sanctionner cet élargissement.

Etienne Guyon présenta quelques données de réflexion touchant les progrès de la physique contemporaine sur la texturation des phénomènes. Des séries temporelles sont analysées au moyen de structures géométriques qui leur sont associées, tandis que des objets géométriques répondent à des descriptions inspirées de la dynamique des systèmes. Cette réciprocité de perspectives traduit une montée de nos connaissances sur les relations entre structures et processus.

Mais ces objets ont changé entre-temps. Ainsi, des objets dits fractals, invariants par les changements d’échelle. Les bruits en l/fx ne possèdent pas de fréquence caractéristique et correspondent à certains phénomènes connus de l’hydrodynamique ou de la physique des solides comme susceptibles de se répéter à plusieurs échelles de grandeurs successives.

Il est permis d’espérer une esthétique qui prenne en compte ces propriétés mathématiques et physiques ; après tout, l’œil discerne aisément la trame de deux massifs de fougères : structures aléatoires de dimensions fractales différentes. La rigueur de l’exposé, où chaque idée correspondait à une expérience bien décrite, n’excluait pas la richesse des références, ainsi du témoignage rapporté de Tinguely : des sculptures mobiles dotées de trop peu de degrés de liberté sont sans intérêt -remarque où le mécanicien retrouve son bien.

Jean-Louis Chautemps choisit de montrer l’évolution récente des formes de la musique de jazz.

Le musicien improvisateur des temps héroïques spatialisait sa musique dans une “partition intérieure” : la grille des tonalités distribuées sur les mesures. Mais il devait respecter la cadence et aussi saisir les occasions pour placer les notes au bon endroit. A ce culte du moment propice succédera la liberté et l’auteur évoque le jeu d’un Young ou d’un Davis comme illustration du “jouer comme si on avait tout le temps” de Stockhausen.

Il discute ensuite ce qu’il appelle les trois facteurs de cette révolution de l’image du temps. Celui-ci devient manipulable, moyennant les vitesses de défilement variables du ruban du magnétophone ; le free jazz consacre le joueur “naïf’, hors du temps marqué ; et l’abandon des substances opiacées en faveur de l’ergot du seigle ouvre l’esprit à d’autres méditations. Et de camper Coltrane en 1967, nouveau dieu Mars courant libre dans l’espace.

L’exposé conclut sur la présentation d’œuvres récentes, dont la liberté d’allure participe de la logique du stratège et de l’ouverture offerte par la machine.

Jacques Mandelbrot donna quelques indications sur la différence entre l’action du temps dans les arts cinétiques, dont la musique, et dans les arts plastiques.

Le peintre ne subit pas le temps comme le musicien. Mais il ne l’ignore pas. D’abord, il existe pour lui trois modes d’ordre qui renvoient à autant de processus de production. Un premier ordre est donné par les conventions reçues et portera le nom de code. Un deuxième relève du conseil que Wagner donnait à ses élèves : donnez-vous une règle et suivez-la. Le troisième relève d’une syntaxe personnelle, vécue sans être codifiée. La pratique du peintre négocie ces trois dynamiques dans la mise au point de l’œuvre.

Le regard du lecteur des œuvres plastiques relève, lui, d’un temps virtuel, où l’activité de déchiffrement explore les dimensions de l’œuvre produite, ce que Mandelbrot ramasse dans la formule du regard clairsemé. C’est dire l’importance du parcours gestuel, de l’experiment, qui permet de montrer combien l’art et la science sont tous deux une confrontation au réel.

Michel Mendès-France donna quelques indications sur l’entropie et l’œuvre ouverte. L’entropie compte les choix dont l’objet déploie les branches, ce que dit la formule log N. Un système sans choix n’a qu’un état, son entropie est nulle. Elle sera grande pour un système complexe. Moyennant des conventions appropriées il est possible de proposer un calcul pour l’entropie d’une courbe, liée au nombre de ses rencontres avec un trait droit qui partage le plan et pondérée par l’ampleur du parcours qui la circonscrit.

Un bruit est dit blanc quand il contient toutes les composantes possibles qu’il est permis d’en extraire moyennant un filtre. L’information du brouhaha est dense au point d’autoriser tous les choix de lecture. Situation logique que l’auteur rapproche de la discussion sur l’axiome du choix chez ses confrères.

Pour l’œil exercé, la toile blanche irradie de possibles, manifestes en regard d’un dessin bariolé à en devenir infiniment complexe, comme une œuvre de Pollock. La ressemblance plastique entre la surcharge et le vide suggère une échelle de complexité circulaire. Depuis la mécanique quantique, le vide des physiciens est lui aussi gros de possibles contraires.

La communication d’éléments d’information permet à l’artiste de toucher son “lecteur”. Mais enrichir l’œuvre, c’est lui conférer une vie propre, en tout cas une autonomie relative. Le double est donc la figure de l’œuvre en générai : elle vit sa propre vie, comme le dit Bacon de ses toiles.

La montagne est un ensemble de parcours possibles, balisés et qualifiés en difficultés. Pour simplifier, on peut dire bon grimpeur celui qui va tout droit là où le grimpeur infortuné suit une trajectoire complexe, irrégulière et hésitante. L’entropie du mauvais grimpeur est immense. Autre version : tous les mouvements sont libres pour le grimpeur au sol, avant l’escalade ; mais certains sont mortels quand il est en charge de son corps. Le mauvais grimpeur ne sait pas lire la paroi, qui est pour lui comme lisse, pauvre en parcours possibles. Il est permis de postuler que l’écart entre ces deux libertés doit être égal à l’entropie calculée à même la courbe de son parcours sur la paroi. On a ainsi un principe de conservation de l’entropie.

L’entropie donne à ces processus le visage de rencontre du hasard. La complexité suggère le parcours difficile et l’information que quelqu’un évalue au bilan. Trois mots pour une même réalité calculable, mais qui fournissent autant de modèles pour le monde comme parcours ouvert.

André Boucourechliev proposa enfin une méditation sur la forme ouverte. Depuis le baroque sans doute, les points de vue multiples sur l’œuvre constituent la règle moderne.

La question de fond fut posée par les travaux de Cage, imposant la carte désordonnée des étoiles comme grimoire de composition, puis par Stockhausen et Boulez. Enfin, la partition musicale devint le lieu concerté de la pluralité des voies offertes : Archipels d’André Boucourechliev. Il ne s’agit sans doute que d’une technique de composition parmi d’autres. Faut-il y voir pour autant un moment “dépassé” ? L’auteur pense qu’il y a là un faux problème. Par-delà le rôle prêté au hasard, subsiste la production de configurations sonores impossibles à imaginer, prévoir, a fortiori écrire, qui n’existent que l’instant unique de leur apparition.

Qu’elle soit pratiquée ou non sur la scène, l’existence des formes ouvertes contribue aussi à exorciser la séduction rhétorique qui, depuis le romantisme jusqu’à Stockhausen inclus, dévoie les œuvres et le public, produits conjoints d’une philosophie douteuse qui pose une question éthique. Reprenant la position de Barthes au Collège de France : la langue est fasciste, l’auteur affirme la pertinence de parcours constitués comme réseaux de possibles accessibles aux concepteurs affranchis de la libido dominandi et aux interprètes et auditeurs, rendus à la jouissance et au savoir.

Serge Pahaut

Communications

• Philippe Albèra – Temporalités dans la musique des trente dernières années
• Jean-Pierre Boon – Des outils de la physique actuelle pour l’analyse des formes classiques ?
• André Boucourechliev – Encore sur la forme ouverte
• Jean-Louis Chautemps – Autour du jazz
• David Epstein – Les temporalités dans les formes classiques
• Etienne Guyon – Les fractals dans la nature
• Claude Helffer – Temporalités chez Debussy (L’Isle Joyeuse) et Schoenberg (opus 11)
• Jean-Pierre Luminet – La temporalité, de la mécanique classique à la relativité
• Michel Mendès France – Entropie et œuvre ouverte
• Serge Pahaut – Le temps dans les mathématiques et la musique au XIV^e siècle.
• Michel Philippot – La naissance de la polyphonie : le passage du successif au simultané
• Ilya Prigogine – Les pôles de la physique du XX^e siècle
• André Riotte – Séries, cycles, permutations : des hauteurs aux durées

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