Théories quantiques et géométrie

Le but de la réunion Théories quantiques et géométrie organisée par la Fondation des Treilles du 23 au 27 mars 1987 était de discuter certains des domaines où les interactions entre physique et géométrie sont les plus importantes ou où les développements récents ont été les plus spectaculaires. Le programme était large et comprenait des thèmes fort divers ; le nombre d’exposés par jour a été maintenu à 3 ou 4 de manière à favoriser au maximum les échanges et la réflexion. L’impression des organisateurs et divers échos recueillis, soit auprès des participants soit de manière indirecte, indiquent que la réunion fut un succès ; de nombreuses interactions ont eu lieu à la Fondation des Treilles et plusieurs de ces interactions se sont concrétisées dans des collaborations ultérieures.

Participants

• Robert Anderson (University of Georgia Athens U.S.A.)
• Ioannis Antoniou (Université libre de Bruxelles)
• Huzihiro Araki (Research Institute for mathematical science Kyoto University)
• Didier Arnal (Université de Metz France)
• Michel Cahen (Université libre de Bruxelles)
• Alain Connes (Collège de France)
• Jean-Claude Cortet (Université de Dijon France)
• Johannes Jisse Duistermaat (Rijksuniversiteit Utrecht)
• Sergio Ferrara (Dept. of physics – UCLA et CERN – Genève)
• Moshé Flato (Université de Dijon France)
• Christian Fronsdal (University of California Los Angeles)
• Simone Gutt (FNRS – Université libre de Bruxelles)
• Rudolf Haag (Université d’Hambourg)
• Bertram Kostant (Massachusetts Institute of Technology – Cambridge)
• Martin David Kruskal (Princeton University)
• Luc Lemaire (Université libre de Bruxelles)
• André Lichnérowicz (Collège de France)
• Baidyanath Misra (Institut Solvay ULB and Nehru University)
• Bengt Nagel (Royal Inst. Technology Stockholm)
• John H. Rawnsley (University of Warwick England)
• Wolfgang Ch. Schmid (Harvard University)
• David John Simms (Trinity College – Dublin)
• Jacques Simon (Université de Dijon France – Université de Bénin – Lomé – Togo)
• Jean-Marie Souriau (Université de Provence Centre)
• Shlomo Sternberg (Harvard University)
• Daniel Sternheimer (CNRS Paris VI et Dijon)
• Ivan T. Todorov( Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy – Sofia – Bulgarie)

Compte-rendu

Trois exposés ont été consacrés à l’approche déformation de la mécanique quantique chère aux organisateurs et qui fait appel aux déformations des   structures d’algèbre associative (les produits*) et d’algèbres de Lie des fonctions sur un espace de phase. A. Lichnérowicz présenta une approche déformation de la mécanique statistique classique et quantique. S. Gutt rappela les origines physiques des produits* et indiqua leurs applications en théorie des représentations et en analyse harmonique. D. Arnal exposa une théorie rigoureuse de l’exponentielle * dans le cadre du groupe de Heisenberg et indiqua sa généralisation aux groupes nilpotents quelconques.

Deux exposés relevaient du domaine voisin de la quantification géométrique. Celui de J. Duistermaat aborda   le problème du   spectre de l’opérateur de Schrodinger et de l’opérateur moment angulaire sur   l’espace de   configuration du pendule sphérique ; il donna une description du spectre asymptotique en   termes de la géométrie de   l’application moment. Celui de W. Schmid fut consacré au problème de la globalisation des modules d’Harish Chandra pour les groupes semi-simples et il en donna une solution très « catégorique », dans laquelle la structure symplectique sur les orbites de la représentation co-adjointe intervient.

Les autres exposés ont été moins groupés par thème, bien que des recoupements nombreux se soient manifestés. Faisant en quelque sorte écho aux deux exposés précédents, on trouve ceux de B. Kostant et S. Sternberg (regroupés en une seule contribution dans les actes du colloque). B. Kostant présenta une   interprétation géométrique du très classique opérateur différentiel Schwarzien lié aux représentations du groupe des difféomorphismes du cercle. S. Sternberg proposa un cadre très général pour la théorie des champs dans lequel on se donne deux sous-groupes (une « paire duale ») commutant l’un avec P autre d’un grand groupe et une représentation unitaire du grand groupe admettant une décomposition en     somme directe lorsque restreinte aux sous-groupes.

Ceci nous amène aux deux autres exposés traitant de la théorie des champs. S. Ferrara discuta des nombres caractéristiques liés à la super^gravité et à la théorie des super-cordes et donna des ordres de grandeur. C. Fronsdal explicita l’importance des singletons en théorie des champs et exposa la possibilité de construire une théorie composite invariance conforme pour le photon entre autres.  Dans un domaine voisin, B. Misra souligna l’importance de l’approche théorie de la mesure pour l’étude des phénomènes irréversibles et étudia certaines propriétés des K-flots.

Des phénomènes physiques font souvent appel aux équations différentielles pour leur formulation et leur traitement. Dans cet ordre d’idées, J. Rawnsley s’intéressa aux applica­tions harmoniques d’une surface de Riemann dans un espace symétrique et montra les résultats précis que l’on obtient en imposant une condition de stabilité. M. Kruskal étudia des équations différentielles non linéaires dépendant d’un petit paramètre et   montra comment obtenir des coefficients de transport ou de réflexion même dans le cas où les méthodes asymptotiques ne fonctionnent pas.

Les trois derniers exposés furent consacrés à la théorie des champs dans une formulation assez   abstraite.  Dans son exposé, H. Araki lia l’interprétation des termes de Schwinger à la cohomologie cyclique de Connes.

R. Haag discuta les difficultés fondamentales rencontrées pour incorporer la gravitation en théorie des champs. Enfin, A. Connesparla de K-homologie multiplicative et mit en place un cadre très général pour la formulation de la théorie quantique des champs.

Michel Cahen et Moshé Flato

 
Communications

• H. Araki : Schwinger terms as a cyclic cocycle
• D. Arnal : The * exponential
• A. Connes : Multiplicative K – homology
• J. Duistermaat : « Quantized spherical pendulum »
• S. Ferrara : Some geometric aspects of supergravity theorie
• C. Fronsdal : Towards a non abelian composite gauge theory
• S. Gutt : Some aspects of deformation theory and quantization
• R. Haag : Quantum physics and gravitation
• B. Kostant : Geometric interprétation of the Schwarzian derivative and string theory
• M. Kruskal : Geometry of the complex plane for asymptotic continuation of solutions in semi-classical limit that vanish to all orders
• A. Lichnérowicz : Deformation theory, statistical mechanics and K.M.S. condition
• B. Misra : Dynamical formulation and implications of irreversibility
• J. Rawnsley : Harmonic spheres
• W. Schmid : Quantisation on coadjoint orbits
• S. Sternberg : B.R.S. cohomology and the quantization of dimensional systems