Équations aux dérivées partielles, et physique macroscopique

Colloque organisé par H. Berestycki – P. Clavin – Y. Pomeau, du 23 au 29 juin 2000.

 

Participants

Amandine AFTALION (Université Paris VI), Luis ALMEIDA (Université de Nice-Sophia Antipolis), Basile AUDOLY (École normale supérieure, Paris),  Henri BERESTYCKI (Université Paris VI), Fabrice BETHUEL (Université Paris VI),  Paul CLAVIN (C.N.R.S., Centre universitaire de St-Jérôme, Marseille), Pierre COULLET (Institut non linéaire de Nice, Valbonne), Vincent HАKIM (École normale supérieure, Paris ), François HAMEL (Université Paris VI), Christophe JOSSERAND (L.M.M. — U.P.M.C., Paris ), Sasha KISELEV (University of Chicago), Yves POMEAU (École normale supérieure, Paris ), Sergio RICA (École normale supérieure, Paris), Emmanuel RISLER (Institut non linéaire de Nice, Valbonne), Еtiеnnе SANDIER (Université François-Rabelais, Tours), Jean-Claude SAUT (Université Paris-Sud, Orsay),  Sylvia SERFATI (École normale supérieure, Cachan).

 

Introduction

Ce thème avait été choisi pour l’intérêt commun que lui portent les mathématiciens et les physiciens, principalement hexagonaux (à une unique exception, les conférences étaient en français). Les sujets tournent tous autour de questions d’équations non linéaires aux dérivées partielles jouant un rôle essentiel dans la des­cription et la compréhension de problèmes de physique macrosco­pique. Au-delà de la variété apparente des phénomènes impliqués (supraconductivité, combustion, magnétisme, etc.), une unifica­tion véritable se fait jour dans les méthodes d’analyse et les concepts physiques concernés, unification qui a été particulièrement évi­dente dans la qualité et la vigueur des échanges informels dont cette rencontre fut le théâtre.

Le compte rendu qui suit est découpé, peut-être un peu artifi­ciellement, selon les questions de physique fondamentale et appli­quée qui ont été examinées.

 

Compte rendu (par Henri Berestycki)

Supraconductivité, équations de Ginzburg-Landau, limite asymptotique de fonctionnelles

Le modèle de Ginzburg-Landau, introduit en 1950, est une description phénoménologique de la supraconductivité. À basse température, certains matériaux expulsent le champ magnétique en créant en leur sein des courants permanents non dissipatifs sans aucune résistance, d’où des applications à la génération de champs magnétiques intenses sans dissipation d’énergie. Comme imaginé par London en 1939, la supraconductivité est un phénomène de cohérence quantique. Depuis, on a montré que la supraconducti­vité se décrit par les équations de Ginzburg-Landau couplant le champ magnétique à une équation de type Schrödinger non linéaire pour la fonction d’onde des électrons supraconducteurs.

Les intervenants ont analysé le comportement des solutions de ces équations lorsque le paramètre de Ginzburg-Landau est grand, à savoir dans la limite de London.

Le cas des anneaux supraconducteurs a été examiné en détail du point de vue mathématique. La question se ramène à l’analyse de la bifurcation d’une valeur propre du linéarisé, ce qui permet une étude complète pour un anneau possédant des symétries. En revan­che, le cas d’un anneau quelconque reste largement ouvert.

L’un des thèmes majeurs a été l’apparition des vortex, ce qui permet de comprendre et d’approfondir des résultats connus heu­ristiquement depuis Abrikosov (1959). On a aussi présenté un modèle où les vortex sont piégés par les impuretés, un phénomène important sinon crucial pour les supraconducteurs réels. Ce dernier modèle présente de grandes analogies avec la condensation de Bose-Einstein dans la limite de Thomas-Fermi.

L’utilisation des méthodes de convergence fonctionnelle d’é­nergie avec petit paramètre, utilisées pour Ginzburg-Landau, trouve des applications dans d’autres domaines de la physique, tel­les que la théorie du micromagnétisme, qui décrit le fonctionne­ment des têtes magnétiques de lecture. Les configurations mini­misantes possibles présentent des lignes de discontinuité de l’aimantation dont la configuration peut être trouvée, le minimum de l’énergie limite se trouvant être le périmètre du domaine.

Intervenants et titres des communications :

• Amandine Aftalion : Phénomènes d’ancrage pour k modèle de Ginzburg-Landau des supraconducteurs.
• Luis Almeida : Stabilité des courants permanents dans le modèle de Ginzburg-Landau.
• Fabrice Bethuel : Courants permanents dans les supraconducteurs.
• Étienne Sandier : Étude mathématique de la vorticité dans le modèle de Ginzburg-Landau a grand kappa.
• Sylvia Serfaty : Énergie limite pour un problème lié au micromagné­tisme.

Condensation de Bose-Einstein, équation de Schrödinger non linéaire et transition elliptique-hyperbolique

La récente mise en évidence de la condensation de Bose-Einstein dans les vapeurs atomiques a ravivé l’intérêt pour l’équa­tion de Schrödinger non linéaire qui en est un bon modèle, au moins pour les températures suffisamment basses. Cette équation pose différentes questions liées à la dynamique de ces condensats neutres.

L’une d’entre elles est l’évolution à long terme pour une condi­tion initiale quelconque. Ceci avait fait l’objet de diverses prédic­tions non confirmées par des études numériques très détaillées, étu­des motivées aussi par le problème plus général de la turbulence faible qui s’applique par exemple à l’évolution du spectre des vagues. Lorsque les termes non linéaires sont faibles devant les ter­mes cinétiques, des solutions exactes des équations montrent des comportements connus en turbulence : cascades (directes ou inver­ses), équipartition (de masse ou d’énergie). Les résultats d’une équation modèle, introduite par Majda, Mc Laughlin et Tabak, ont été discutés : les spectres correspondant aux différents régimes ont été retrouvés, alors qu’un autre spectre, non prévu par la théorie, est observé. L’état asymptotique obtenu dans le cas non dissipatif correspond à un équilibre thermodynamique autour de la solution stationnaire minimisant l’énergie.

Outre les ondes qu’on vient de mentionner, un autre typе de fluctuations existe dans les superfluides : les vortex, dont la création reste une question très mal comprise. Une revue a fait le point sur la création de vortex par transition transsonique d’un écoulement superfluide autour d’un obstacle.

Une autre équation fondamentale pour le transsonique est celle de Kadomtsev-Petviashvili (КР), un modèle « universel » pour la propagation d’ondes longues dispersives faiblement non linéaire, avec de faibles effets transverses. Des liens précis existent entre l’é­quation de кр (en dimension spatiale 2 ou 3) et la limite transso­nique de l’équation de Gross-Pitaevskii (ou Schrödinger non linéaire) des superfluides. Les ondes progressives de l’équation de Gross-Pitaevskii sont sans doute décrites dans cette limite par les ondes solitaires localisées, solutions de KP. On a présenté plus par­ticulièrement des résultats difficiles quant à l’existence de solution de KР pour le problème de Cauchy dans l’espace d’énergie naturel (celui donné par l’hamiltonien). Des résultats mathématiques récents de Bourgain permettent de construire des solutions de déri­vabilité meilleures que ce qu’on pouvait attendre. Ceci permet de conclure à l’existence de solution au рrоblèmе de Cauchy (évolu­tion bien définie), si l’on ajoute à l’équation de KР un terme disper­sif en x du cinquième ordre.

Un dernier sujet examiné fut celui de la description en théorie cinétique du gaz de Bose-Einstein : on sait que pour un gaz clas­sique dilué, la bonne description mathématique est donnée par la théorie cinétique de Boltzmann. Le lien entre cette théorie ciné­tique et les équations du condensat, de type Schrödinger non linéaire, est assez subtil. On a montré par exemple comment s’ex­plique la formation dynamique du condensat à partir d’un gaz de Bose à distribution continue des vitesses : une singularité à temps fini de la solution de l’équation cinétique définit à partir de quel moment la cohérence quantique se crée, la suite des événements, c’est-à-dire la croissance du condensat, s’explique aussi dans ce cadre.

Intervenants et titres des communications :

• Pierre Coullet : Comportements chaotiques de deux condensats de Bose Einstein couplés.
• Christophe Josserand : Turbulence faible dans NLS.
• Yves Pomeau : Condensation de Bose.
• Sergio Rica : Vitesse critique et nucléation de vortex.
• Jean-Claude Saut : Progrès et problèmes ouverts autour de l’équation de KP.

Combustion, flots réactifs

La combustion est un grand sujet à la fois pour les mathéma­tiques appliquées, pour la physique et même pour la chimie, en rai­son de la variété des phénomènes en jeu (cinétique chimique, transport moléculaire, hydrodynamique, etc.) . L’un des points les plus discutés actuellement dans ce domaine est celui de la propaga­tion des ondes de réaction-diffusion et des flammes dans des écou­lements à la fois rapides et de structure assez simple pour se prêter à une analyse précise et exacte. Cette question de la propagation en milieu inhomogène a été un des points forts de la rencontre, il a fait l’objet de présentations couvrant tout le spectre des compétences : analyse numérique, analyse « dure » mathématique, analyse asymp­totique « formelle » dans des limites bien choisies. Bien qu’il ne s’a­gissait sans doute pas d’une restriction essentielle, on a surtout exа­miné le cas d’une inhomogénéité périodique en espace. Une première salve de résultats exacts a montré que, dans un certain sens, ce à quoi on s’attend qualitativement est vrai : les fronts conti­nuent d’exister et de se propager dans ces situations hétérogènes, avec un spectre de vitesses continu et borné inférieurement, ce qui semble s’opposer à des arguments heuristiques montrant l’extinc‑

Équations aux dérivées partielles et physique macroscopique

tion près des points cols de l’écoulement. Un autre résultat notable est celui du comportement dans la limite de grandes vitesses d’é­coulement, où ont été exposées à la fois des bornes inférieures exac­tes et une estimation plus heuristique du comportement de la vitesse de flamme effective en écoulement périodique.

Ces analyses asymptotiques et/ou exactes ont été complétées par la présentation de simulations numériques des modèles mathéma­tiques concernés. Ainsi, on a montré qu’une flamme plane en moyenne peut présenter une courbure à une échelle plus grande que l’échelle du forçage, phénomène qui rappelle un peu la conden­sation de Bose-Einstein sur le plan mathématique. Il en est ressorti un résultat un peu inattendu : la dimension fractale de ces fronts varie avec le spectre de la turbulence. Dans le cas des instabilités thermodiffusives, les flammes peuvent être considérées comme un système continu d’oscillateurs couplés. Ce type de système a aussi été examiné du point de vue général de la théorie des bifurcations des systèmes à structure spatiale. L’étude des bifurcations géné­riques de points fixes ou d’orbites périodiques pour des champs de vecteur en dimension 1 et 2 montre que les solutions périodiques et proches d’une bifurcation homocline pour l’équation différen­tielle sont toujours instables par rapport à des perturbations de grande longueur d’onde.

Intervenants et titres des communications :

• Basile Audoly : Réaction-diffusion en écoulement stationnaire rapide.
• Henri Berestycki : Propagation de fronts dans les milieux périodiques.
• Paul Clavin : Dynamique de détonation dans les gaz.
• Bruno Denet : Simulation de modèles de flammes turbulentes prémé­langées.
• François Hamel : Phénomènes de propagation et d’interaction de fronts pour des équations de réaction-diffusion.
• Alexander Kisselev : Enhancement of combustion by fluid advection.
• Vincent Hakim : Spirales et filaments dans les milieux excitables.
• Emmanuel Risler : Déploiement spatial de bifurcations génériques.

Cette rencontre a été très utile et a ouvert de grandes perspecti­ves. Elle a regroupé des chercheurs d’horizons divers, qui ont su trouver un langage commun permettant des échanges particulière­ment fructueux. La richesse inépuisable des sujets examinés, jointe à l’intérêt et à la nouveauté des résultats présentés, donne à penser qu’un prochain renouvellement d’une telle rencontre sera la très bienvenue !

 

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