Bourbaki et l’épistémologie historique

Séjour d’étude de Paola Cantù, Sébastien Maronne et Frédéric Patras du 8 au 13 mars 2021.

 

Résumé

Photographie prise pour le troisième anniversaire de Bourbaki, en septembre 1938, à Dieulefit. De gauche à droite: la philosophe Simone Weil, les mathématiciens Charles Pisot (le front est celui d’André Weil), Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann et Jean Delsarte. Photo extraite du site ‘Images des mathématiques’ : http://images.math.cnrs.fr/Nicolas-Bourbaki-a-quatre-vingts-ans.html

Le groupe Bourbaki est une figure majeure des mathématiques du 20ème siècle, à la fois de par son œuvre écrite, le traité des Eléments de mathématiques, et de par son influence théorique et méthodologique sur toute la seconde moitié du siècle, avec en particulier l’émergence d’une « méthode structurale » devenue rapidement norme d’écriture et de travail dans de nombreux domaines mathématiques. Si d’assez nombreuses études lui ont déjà été consacrées, le champ des questions ouvertes aux niveaux historiques et épistémologiques reste considérable. Notre séjour a été consacré au lancement de l’écriture d’un livre, centré sur les rapports entre l’entreprise bourbakiste et la tradition épistémologique française. Le propos de l’ouvrage est, au travers d’une étude interdisciplinaire (histoire/mathématiques/philosophie), de montrer comment l’épistémologie historique (de Bachelard à aujourd’hui, en passant par la philosophie du concept de Cavaillès ou par Foucault) permet de comprendre et analyser l’oeuvre de Bourbaki et, à rebours, comment celle-ci permet de mettre en évidence la pertinence de thèses directrices de l’épistémologie historique dans le travail mathématique concret.

Abstract

The Bourbaki group is a major figure in 20th century mathematics, both because of its written work, the treatise of the Elements of Mathematics, and because of its theoretical and methodological influence on the whole second half of the century, with in particular the emergence of a « structural method » which rapidly became the standard of writing and work in many mathematical fields. Although numerous studies have already been devoted to it, the field of open questions at the historical and epistemological levels remains considerable. Our stay was devoted to launching the writing of a book, centered on the relations between the Bourbakist enterprise and the French epistemological tradition. The purpose of the book is, through an interdisciplinary study (history/mathematics/philosophy), to show how historical epistemology (from Bachelard to the present day, passing through the philosophy of the concept of Cavaillès or Foucault) allows us to understand and analyze Bourbaki’s work and, conversely, how this work allows us to highlight the relevance of the guiding theses of historical epistemology in concrete mathematical work.  

 

Compte rendu

Le groupe Bourbaki est une figure majeure des mathématiques du 20ème siècle, à la fois de par son œuvre écrite, le traité des Eléments de mathématiques, et de par son influence théorique et méthodologique sur toute la seconde moitié du siècle, avec en particulier l’émergence d’une « méthode structurale » devenue rapidement norme d’écriture et de travail dans de nombreux domaines mathématiques. Si d’assez nombreuses études lui ont déjà été consacrées, le champ des questions ouvertes aux niveaux historiques et épistémologiques reste considérable avec la double nécessité d’une étude technique détaillée des matériaux mathématiques, publiés ou inédits, et, en parallèle, de leur analyse conceptuelle à ces deux niveaux.

Pour ce qui est de la dimension spécifiquement philosophique, le structuralisme mathématique a fait récemment l’objet d’une attention soutenue et de nombreux travaux. La dimension favorisée par la plupart des études au niveau international relève toutefois d’une approche ontologique (portant sur la nature des objets mathématiques, dans une perspective structurale) plutôt que de celle, plus pragmatique et ancrée dans une pratique, qui a été celle de Bourbaki. Cette tension entre différentes dimensions du structuralisme en mathématiques est souvent analysée aux termes d’une partition entre un « structuralisme philosophique » et un structuralisme des mathématiciens. Particulièrement digne d’intérêt dans le second est tout ce qui relève de la pratique : pratiques théoriques avec en particulier un décalage entre méthode structurale et méthode axiomatique ; pratiques d’écriture, qu’il s’agisse d’ouvrages ou de travaux de recherche ; pratiques historiques, que ce soit dans des analyses à long terme ou dans les analyses bibliographiques plus locales de résultats ou théories donnés ; définition opératoires enfin, comme avec la définition bourbakiste des « espèces de structure » dont la portée est trop souvent sous-évaluée, l’étude du contexte de leur émergence et formalisation étant en général négligée.

Au vu de ces éléments, il est naturel d’enquêter sur les rapports entre l’entreprise bourbakiste et la tradition épistémologique française sur la base de ces quatre composantes (théorie générale, écriture mathématique, rôle de l’histoire, objets mathématiques concrets, à l’image des espèces de structures) – le propos directeur du travail en cours dont ce rapport rend compte. Outre la théorie des espèces de structure et objets ou idées associés (transport de structure, notion de morphismes…), signalons que la topologie générale et la théorie des groupes de Lie sont typiquement des domaines où il est possible de détecter des phénomènes importants -par exemple dans les choix d’exposition effectués dans les Eléments.

Insistons ici seulement sur un aspect de ces questions : les enjeux relevant de l’épistémologie historique et les raisons du rôle que celle-ci joue dans ce projet. Les débats sur l’épistémologie historique sont actuellement très actifs, les approches venant de l’univers de la philosophie analytique renouvelant et remettant au centre de l’attention une tradition française qui remonte à Bachelard. Au cœur de ces débats se développe une réflexion d’ensemble sur les processus de constitution et de cristallisation du savoir et le rôle de l’histoire en philosophie des sciences dont il s’agit ici de mobiliser les acquis et outils. Dans ces débats, les mathématiques sont peu abordées pour elles-mêmes du fait de leurs idiosyncrasies, des notions comme celle de rigueur, d’expérience ou d’ontologie y ayant un sens et une charge historique différentes de celles qu’elles ont dans les sciences de la nature. L’oeuvre bourbakiste, où la rigueur est associée à la méthode axiomatique, l’expérience au travail mathématique et l’ontologie à la dualité objets/structures peut ici, on le comprend, servir de pierre de touche.

Prenons l’exemple de Cavaillès, proche de Bourbaki à divers niveaux -théoriques et humains-. Sa dernière « philosophie du concept » met en lumière la logique interne du développement mathématique, ses modalités, à la fois contraintes par les matériaux d’étude et dépendantes du travail mathématique concret. Jusqu’où l’expérience bourbakiste permet-elle de valider sa philosophie ? Invite-t-elle à l’enrichir, à la compléter ? Si la réponse à donner à ces questions est pour l’essentiel positive au terme d’une première analyse conduite à partir du rapport des Bourbaki à l’histoire, c’est dans le détail de l’argumentation que se jouent les phénomènes épistémologiquement intéressants -un travail délicat, en cours, mais où se joue peut-être en partie la reconfiguration de l’épistémologie mathématique qu’appellent les débats contemporains dans d’autres disciplines.


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