Methodology in Cognitive Sciences

Symposium organized by Jean-Michel Morel, Jean Petitot, Bernard Teissier, from 7 to 14 December 1998.

 

Participants

Yves Candau (Ecole polytechnique, Paris), Alessandra Carbone (Université de Paris-XII), Jim Damon (University of North Carolina, Chapel Hill), Akira Date (Brown University, Providence) Agnès Desolneux (Ecole normale supérieure, Cachan), Yves Fregnac (Institut Alfred-Fessard, CNRS, Gif sur-Yvette), Stuart Geman (Brown University, Providence), Yann Gousseau (Ecole normale supérieure, Cachan), Misha Gromov (Institut des hautes études scientifiques (IHES), Bures-sur-Yvette), Giuseppe Longo (Ecole normale supérieure, Paris) Jean Lorenceau (CNRS, Collège de France), Mallat Stéphane (Ecole polytechnique, Paris), Andrea Mennucci ( Scuola normale superiore, Pisa), Jean-Michel Morel (Ecole normale supérieure, Cachan), David Mumford (Harvard University), Pietro Perona (California Institute of Technology, Pasadena), Jean Petitot (Ecole des hautes études en sciences sociales (EHESS), Paris), Bernard Teissier (Ecole normale supérieure, Paris), Simon Thorpe (Faculté de médecine de Rangueil, Toulouse).

 

Summary

Various aspects of brain activity have become the subject of V active research in very different fields of science. Some of these fields are new and some are old, but most of them have recently opened up new perspectives. The aspects of brain acti­vity which were discussed included visual or auditive percep­tion, gestual activity, learning neural activity, and the methods were as diverse as neurophysiological analysis, geometric modelization, neural networks models, gestalt models, and so on. The aim of the meeting was to gather experts of these different approaches and ask them to compare their hypotheses with emphasis on methodological relevance. Most of the experts contacted have in common an experimental approach. Their work, however, corresponds to very different models: abstract models of statistical learning, architectural models such as neural networks, modular models (vision, hearing, motion), and `theoretical brains’.

During the meeting, neurophysiologists, mathematicians and logicians interested in perception, vision and the role of geometry exchanged views. The following is a summary of their contributions.

 

Report

Yves Frégnac : Introduction à la structure du système visuel

On a d’abord présenté la structure de la voie rétino-géniculo‑corticale. Il existe dans le cortex visuel primaire plusieurs repré­sentations différentes du champ visuel avec des champs récep­teurs différents spécialisés dans l’orientation, le mouvement, la couleur, etc. En particulier, l’on a rappelé la structure en pinwheel des hypercolonnes d’orientation, ainsi que le rôle des connexions cortico-corticales induisant une activité latérale à longue portée au-delà du champ de décharge (i.e. du champ récepteur au sens étroit). Cette présentation fut suivie par celle des principaux résultats concernant le codage temporel et le liage par synchronisation. Enfin, c’est la dynamique des connexions horizontales cortico-corticales qui a été étudiée. Cette dynamique permet au champ récepteur (au sens large, i.e. comme champ d’intégration synaptique) d’être adaptatif.

Jean Lorenceau: Psychophysics of contour and motion integration

Visual features such as orientation, spatial frequency, direc­tion of motion are analysed in primary cortex by neurons with spatially restricted receptive fields. To understand how the rela­tionships between neurons that selectively respond to this variety of features are represented remains one of the central issue in studies of visual perception. Indeed binding the local responses elicited by complex images is a necessary step to recover the 3-dimensional structure of the external world and to organize our actions. Until recently, the predominant view was that of a hierarchical organisation of a cascade of visual processes in which increasingly complex features would be processed by neurons in a variety of visuals areas through the selective integration of responses to features of lower com­plexity. According to this scheme, cardinal neurons at the end of this processing cascade should respond to highly complex configurations of elementary features or primitives, such as grand-mothers. Although this view is supported by anatomical, physiological, and neuropsychological findings, demonstrating the existence of highly specialized neurons in remote visual areas responding selectively to faces or to components of the optic flow field, it also raised a number of difficult problems. For instance, it would be necessary that each object we can see in the external world has its counterpart in the brain. This yields a problem of combinatorial explosion that is unlikely to be handled by visual cortices. Alternative views have recently been proposed. The key notion is that of cells assemblies that would form dynamically through the synchronisation of neu­ronal activities. The network of lateral connections described in area V1 could indeed support such binding process.

In this presentation, we shall review some recent work concerned with contour and motion integration, revealing experimental evidence that lateral orientation selective interac­tions modulate the perceptual grouping of contours and motion. The results of these experiments suggest that two com­petitive mechanisms are involved whose activity depend on the contrast of the relative orientation between neighbouring elements or the existence of occlusion cues: one mechanism, highly sensitive to contrast, would yield mutual facilitation bet­ween activated neurons and favour perceptual grouping into a single entity; it could involve long range connections. Whereas a second mechanism, poorly sensitive to contrast, would entail mutual inhibition and disrupt contour or motion grouping ; hypercomplex cells could be involved in this process. Moreover, the dynamics of perceptual grouping and segmenta­tion is highly correlated to the dynamics of activity through the network of lateral connections as revealed by electrophysio­logical experiments, suggesting that they could subserve the integration and segmentation of contour and motion signais.

Simon Thorpe : Le traitement ultrarapide des informa­tions dans le système visuel

Le système visuel est capable de catégoriser de façon ultra-rapide (en 180 ms pour les singes, en 280 ms pour l’homme) des images présentées pendant moins de 20 ms. Une telle reconnaissance s’effectue avant l’analyse précise des formes.

Pour expliquer cette rapidité, on a introduit l’hypothèse d’un codage par rang selon laquelle les neurones sont sélectifs au début de la réponse. En effet, comme le processus doit traver­ser environ 20 couches neuronales, il ne peut disposer de plus de 10 ms par couche, ce qui correspond, pour un taux de décharge standard de 100 spikes/s, à environ 1 ou 2 spikes en moyenne. Cela ne permet pas un codage fréquenciel, mais un codage par rang fondé sur l’ordre d’arrivée des spikes.

Les conclusions auxquelles conduit cette hypothèse, ainsi que des éléments de confirmation expérimentale ont été exposés.

Jean-Michel Morel : La théorie de la Gestalt peut-elle devenir computationnelle ?

La théorie de la Gestalt géométrique a la chance d’avoir eu un excellent compilateur, W. Metzger. Dans son livre, Gesetze des Sehens (dernière édition 1975, Waldemar Kramer, Frankfurt), il présente une somme de toute la doctrine gestal­tiste, depuis les prémices physicistes (Helmholtz, Hering, Mach) jusqu’aux dernières expériences des gestaltistes italiens dans les années soixante-dix (Kanizsa, Bozzi). J’ai essayé de montrer que de cette théorie se dégageait une liste, petite, d’axiomes de formation géométrique des Gestalts. Ces principes de formation collaborent en général et ne se disputent que de manière secondaire quand il s’agit de définir les unités maximales de ges­talts qui se construisent par leur application. Les principes ges­taltistes sont récursifs : on peut par exemple constituer une ligne faite de segments parallèles, eux-mêmes faits de segments paral­lèles. J’ai essayé de montrer que les expériences gestaltistes souf­fraient, malgré leur richesse, d’un défaut méthodologique : elles sont construites sur des figures géométriques indéterminées (par exemple, un carré résulte de l’application d’au moins quatre principes de regroupement). Ensuite, utilisant les remar­quables expériences réalisées par Simon Mesnon sur des images digitales, j’ai montré que l’application de deux seulement des principes gestaltistes, à savoir « connexité » et « bonne continua­tion » (selon Kanizsa), permettait d’effectuer des restaurations d’images partiellement détruites (grosses taches). Ces expé­riences permettent de vérifier le bien-fondé du principe de bonne continuation, selon lequel les images réalisent des mini­ma locaux de la courbure des lignes de niveau sous contrainte aux bords de l’angle d’incidence. Dans un exposé successif d’Agnès Desolneux et de Lionel Moisan, une autre confirmation était développée : le principe d’alignement peut conduire à une théorie computationnelle détectant de manière sûre les aligne­ments présents dans l’image (voir leur résumé).

Agnès Desolneux, Lionel Moisan, Jean-Michel Morel : Détection d’événements signatifs dans les images

Comme l’ont bien compris les psychophysiciens depuis le début du siècle (Kanizsa, Westheimer,…), la vision préattentive s’organise autour d’un petit nombre d’événements géomé­triques appelés Gestalts (parallélisme, bonne continuation, convexité…) et immédiatement détectés par notre cerveau. Nous donnons ici les premiers résultats d’une étude systéma­tique du problème de la détection de telles Gestalts. Cette étude s’inscrit dans le cadre plus général de l’analyse de phénomènes non locaux sur les images mais, à l’inverse de théories de type segmentation (fonctionnelles de Mumford et Shah, de Blake et Zisserman, modèle bayésien de Geman et Geman) ou trans­formation de Hough par exemple, nous nous proposons de prouver l’existence d’événements (de Gestalts)avant de les localiser de façon optimale. Il est en effet possible de calculer des seuils de détectabilité caractérisant de manière sûre des évé­nements significatifs comme des grandes déviations de non‑événements (typiquement des bruits blancs). Par exemple, l’ali­gnement de points dans une image peut être décidé de façon sûre : nous donnons un calcul explicite de seuils k(l) pour les­quels l’événement :

« trouver au moins k(l) points de directions locales bien alignées sur un segment de longueur l »

se produit statistiquement moins d’une fois par image (ces seuils dépendent uniquement de deux résolutions : la taille de l’ima­ge et la précision avec laquelle les directions locales sont mesu­rées (environ 10° si l’on se fonde sur les mesures faites dans la couche neuronale V1).

Cette définition de segments détectables peut ensuite être affinée par la notion de segments maximaux détectables (i.e. qui ne sont ni le contenant, ni le contenu de segments plus détectables), que nous conjecturons être disjoints 2 à 2 (asymp­totiquement prouvé).

La réalisation de ce programme de la détection des Gestalts né­cessitera l’extension de ce type d’étude aux autres Gestalts élé­mentaires, puis au cas de l’interaction de telles Gestalts (détec­tion récursive).

Pietro Perona : La perception des formes

Le problème des lois gestaltistes est qu’elles ne sont pas assez précises pour être transformées en algorithmes. Après avoir rappelé le point de vue post-gestaltiste de David Marr, on a pré­senté un certain nombre de résultats expérimentaux concer­nant la perception des formes, en particulier les phénomènes de « grouping » de formes 3D. Si l’on considère un groupe de cubes (ou de coins de cubes) éclairés de façon standard avec un cube mis en perspective et éclairé de façon inverse, le cube exceptionnel est immédiatement repéré. Cependant, les réponses se dégradent fortement si l’orientation de la lumière est inversée. Cela confirme que la perception de bas niveau postule a priori que, génériquement, les formes sont éclairées par le haut (comme pour le soleil). On a présenté tout un ensemble d’expériences autour de ces problèmes, ainsi que des modèles permettant d’en expliquer les résultats.

Jean Petitot : Champ d’association, structure de contact et intégration des contours

Les données actuelles de la neurophysiologie sur l’architectu­re fonctionnelle du système visuel, et en particulier sur la voie rétino-géniculo-corticale, sont suffisamment riches pour per­mettre de commencer à chercher quelle est la théorie computa­tionnelle (au sens de David Marr) qui s’y trouve implémentée.

La structure rétinotopique des hypercolonnes d’orientation de l’aire V1 (telle qu’elle est décrite depuis les travaux pionniers de Hubel et Wiesel) peut être mathématiquement idéalisée par la fibration ∏ E->M ayant pour base le plan M de la rétine et pour fibre F la droite projective des directions du plan (l’espa­ce total E de la fibration est isomorphe au produit M x F). Au-dessus de chaque position rétinienne se trouve implémenté un exemplaire (discrétisé) de F Les connexions horizontales corti­co-corticales implémentent ce que l’on appelle la trivialité loca­le de cette fibration, c’est-à-dire la comparaison entre les points correspondants (i.e. les cellules simples de même orientation) de fibres (i.e. d’hypercolonnes) voisines. Elles implémentent sans doute, qui plus est, une connexion (au sens géométrique) définissant un transport parallèle.

Les différences sont toutefois importantes entre ce modèle idéalisé de la fibration et la réalité neurophysiologique. D’abord, la structure est multiéchelle et se trouve réalisée à tra­vers des systèmes de champs récepteurs (CRs) d’échelle variable et même adaptatifs, CRs dont la modélisation passe par des théories du genre ondelettes. Ensuite, chaque orienta­tion dans une fibre se trouve codée par toute une colonne de cellules dont les CRs sont agrégés (codage par population). Cette redondance joue un rôle important dans la question de la résolution et de l’adaptativité des CRs. Enfin, la structure tri­dimensionnelle de la fibration se trouve écrasée sur des couches bidimensionnelles, ce qui entraîne des distorsions considérables et l’apparition de lignes de fracture et de singu­larités (structure en pinwheel)

Après avoir rappelé ces données, l’exposé s’est focalisé sur l’interprétation géométrique des résultats de Field, Hayes et Hess sur le champ d’association. On a montré que ces travaux impliquent que la structure de contact de la fibration ∏ : E->M est implémentée et que le champ d’association correspond à une condition d’intégrabilité des courbes dans E : elles doivent être les relevés (les 1-jets) de leur projection sur le plan réti­nien M.

On a ensuite appliqué ce modèle à l’interprétation des contours subjectifs modaux (de type contours illusoires à la Kanizsa) et on a proposé une variante du modèle de l’ elastica (Horn, Mumford) reposant sur l’idée de « géodésiques » contraintes, i.e. de courbes qui minimisent la longueur (pour une certaine métrique) dans la classe des courbes satisfaisant la condition d’intégrabilité. On a conclu sur quelques possibilités de tests expérimentaux.

Stéphane Mallat: Wavelets for Deformations

Analyzing information incorporated in images requires the ability to recover deformations in time due to movements or in space created by geometry and perspectivity effects on three dimensional surfaces. A deformation operator r applied to a reference fonction r(x) produces an observed signal f(x) = 「r(x). A typical deformation due to illumination, movement or pers­pectivity effects can be written: 「r(x) = a(x) r(y(x)).

The difficulty is to recover both 「 and r from the signal f. When the deformation has more regular variations then the signal, a scale separation tcchnique, can be used to discrimi­nate them. This leads to the use of complex oriented wave­lets that are similar to the impulse response of simple cells in the visual cortex. The ideas of this talk appeared to be related to the psycho-physics experiments presented by Jean Laurenceau and to the geometrical interpretation of hyper­columns proposed by Jean Petitot.

David Mumford: Sampling as an Essential Ingredient of the Vision Problem

The ‘Pattern Theory’ approach to vision asserts that an accu-rate stochastic model of the many variables describing an image is needed for image analysis. However, once this com­plex model is created, a vision machine needs to optimize the posterior probability on all its random variables in order to understand an image. This seems to be a very difficult optimi­sation problem.

But recent work by Blake and Isard on an algorithm called `Condensation’ showed that using moderate sized samples from the posteriori rather than estimates of its mode, were very effective in solving a tracking problem. These samples could be updated when new data appears without losing the evolving correct hypothesis. I propose that such an approach may be adapted to static images with scale replacing time and successively higher order patterns integrated successively into a set of samples carried on the nodes of a pyramid data struc­ture.

A very interesting question is whether the cortex may maintain a firing pattern representing not just one inter­pretation of the world but a whole sample of possibly contradictory interpretations. An idea of Yuri Manin that the brain might accomplish this by quantum superposi­tion, as in the quantum computers currently being develo­ped was discussed.

Stuart Gernan: Compositional Vision

Images are ambiguous at each of many levels of a contextual hierarchy. The ‘grouping problem’ (what goes with what ?) is therefore a fundamental obstacle to image analysis. Ambiguous interpretations, and multiple and inconsistant groupings need to be maintained until a scale is reached at which the signal is well determined. This presents a computational challenge. I propose that images can be analysed by iterative grouping, if aggregation rules are employed at multiple scales. I suggest a system that computes successively refined image interpretations by multi-scale analysis ; more or less coarse interpretations emerge early, and detail and accuracy progress with continuing computation. I propose, furthermore, that the nervous system implements an analogous hierarchy of groupings, at multiple scales, and I suggest a possible realization in neural­like hardware.

Yann Gousseau : La taille des objets dans une image

Les travaux présentés sont motivés par deux questions concernant la structure des « images naturelles ». Quelle est la répartition en taille des objets dans une image ? Quel est l’effet de l’occlusion sur la surface des objets visibles ?

Nous avons mené une série d’expériences sur de nom­breuses photographies pixelisées. Partant d’une image dont l’histogramme est équalisé, et après avoir quantifié les niveaux de gris de 1 à N (N étant typiquement de l’ordre de 10-20), nous définissons le nombre f(i) de régions connexes consti­tuées de i pixels de même couleur. Il apparaît que f(i) est très bien approchée par une fonction c

où « c » est une constante dépendant de l’image et « a » un réel proche de 2. Ce comportement confirme une forme d’inva­riance par changement d’échelle des images naturelles. Par ailleurs, si l’on considère que l’on extrait les surfaces de sections de l’image — les quantités observées semblent correspondre à la fois à des longueurs et à des surfaces — cela implique que la représentation continue des images naturelles n’est pas à varia­tion bornée.

Pour étudier l’influence de l’occlusion sur la répartition en taille des objets, nous utilisons une variante du modèle « feuilles mortes » développé par G. Matheron. Une image est obtenue par superposition séquentielle de formes aléatoires. Des résul­tats connus impliquent, d’une part, que la longueur de l’inter­section des parties visibles des objets avec des droites de direc­tion fixée est en moyenne divisée par deux par rapport à la même quantité avant occlusion, et, d’autre part, qu’un objet a d’autant plus de chance d’être vu en entier que sa surface et son périmètre sont petits.

Des expériences numériques montrent que le rapport entre surface moyenne avant et après occlusion varie fortement selon la répartition en taille et la forme des objets. En revanche, nous montrons que le rapport entre surface moyenne et périmètre moyen est dégradé par un facteur constant par occlusion.

James Damon: Singularity, Theory and the Geometry of Medial Structures in Images

In the analysis of black and white images, the geometric structure of objects with smooth boundaries may be captured using the Blum Medial Axis. Medical Images such as CAT scans, MR images, etc., are instead grayscale images which are fre­quently corrupted by ‘noise’. Consequently, objects in medical images such as bones, organs, etc., do not have clearly defined boundaries. To provide a substitute for the Blum Medial Axis, we use instead geometric properties of an associated medial structure, which is defined through the introduction of scale.

The ‘core’, introduced by Pizez and Eberly, is one key geo­metric feature of the media! structure. We further explain how to place the ‘core’ in a relative critical set structure. This larger structure has a richer form of a geometric network whose gene­ric properties are determined through the use of singularity theory. We indicate the form of the generic structure and its use in media! images.

Furthermore, we explain why such a structure is robust even for images with considerable noise. The nature of these results suggest that the mathematical reasoning explaining the two key properties of generic geometric structures and stability in the presence of noise should have an analogue for the human visual system.

Andrea Mennucci: Skeletons and Control Theory

We refer to three problems that apply to Machine vision: the problem of recovering Shape from Shading, the problem of computing the Skeleton (or, Medial Axis) of a figure, the pro­blem of finding minimal paths (or geodesics) – connecting points. All these problems can be solved by classical mathema­tical theories: there is a function y (which in the Shape from Shading problem represents the shape) which is solution to a Hamiltonjacobi PDE H; this function y is also the value func­tion of an Optimal Control Theory problem, where we try to find a trajectory x(t) in space which minimizes a given cost if L is chosen to represent length, the optimal trajectory is a geo­desic; the set where the y function is not differentiable is then the skeleton. This dual viewing of the problem is facilitated by the fact that the fonctions H and L are linked by the Legendre transform. By studying these problems, we could derive a regu­larity theory for the solution y (P. Cannarsa, A. Mennucci, C. Mantegazza, C. Sinestrari), which shows that, if all the com­ponents of the problem are sufficiently regular, the closure of the skeleton is a rectifiable set, that is, it can be covered by a countable number of regular hypersurfaces ; we show also a counterexample, in which there is a set whose skeleton, when closed, covers a not negligeable part of the plane.

Misha Gromov: Quantitative Geomeny

Imagine you orant to give a purely geometric definition of a cow, say to explain what makes it qualitatively different from a convex set or from some elongated stage such as a snake, etc. There are several tricks geometers have which give a robust definition of a shape being somewhere `thick’ (as the body of a cow) or `thin’ (as the legs and the tail). One idea is inspired by the topological notion of dimension which can be modified in order to account for different scales. Thus, the body of a cow remains 3- dimensional while the legs and the tail will appear 1- dimensional at scale of about 30 cm.

So defined scaled dimension gives only very rough idea of 3D shapes but it gains in power when applied to high dimen­sional spaces, such as the configuration space of possible position a cow may take. There we have a subset in a Euclidean space of several hundred of dimensions and by looking at it from different angles we shall see rather different features where the scaled dimensions carry an essential infor­mation.

Giuseppe Longo : De la cognition à la géométrie

L’histoire récente des fondements des mathématiques a été entièrement dominée par les approches logiques et formelles. Mais les progrès considérables des sciences cognitives permet­tent de tenter une nouvelle exploration que l’on peut qualifier « d’approche cognitive des fondements des mathématiques ».

On peut revenir au moment central que fut l’opposition entre les visions de Riemann, Helmholtz et Poincaré, d’un côté, et celles de Frege et Hilbert, de l’autre. Avec Gauss et Riemann, la géométrie (qui était une « science des figures » chez les Grecs) est devenue vraiment une « science de l’espace ». Poincaré est allé plus loin, en soulignant le rôle du mouvement. Pour lui, il n’y a pas une théorie géométrique a priori du monde, donnée par une axiomatique formelle. C’est plutôt « la présence des corps, les solides naturels » et notre propre corps, notre mouvement et les changements d’état qui constituent l’espace et qui nous le font appréhender ; « les axiomes ne sont que des définitions déguisées », dont on choisit « les plus commodes » (Poincaré, 1902, p. 75-76). Toutefois, pour Poincaré, la géo­métrie du monde sensible n’est pas la géométrie mathéma­tique, car… « les sensations musculaires n’ont aucun caractère géométrique ». C’est ce clivage, qui le conduit à un certain conventionnalisme, qu’il faut aujourd’hui dépasser : il faut reconstruire la géométrie mathématique à partir de celle du monde sensible, expliquer pourquoi nos choix explicites sont « plus commodes », en utilisant les outils que les mathématiques, la géométrie tout d’abord, mais aussi la logique mathématique nous ont donnés au cours des dernières décennies, en combi­naison avec l’apport des neurosciences et des sciences cogni­tives.

Au cours de ce siècle, E Enriques et H. Weyl enrichiront les réflexions de Riemann et Poincaré en y ajoutant la dimension historique. Hilbert, au contraire, développera considérablement la logique mathématique de Frege. En ramenant la « certitude » à une manipulation finitaire de langages formels, il posera les bases de la théorie de la démonstration en tant qu’analyse for­melle et linguistique des mathématiques, telle qu’elle se déve­loppera surtout après les années trente.

La force conceptuelle, la rigueur et la précision mathématique du programme de Hilbert feront oublier les remarques, infor­melles mais profondes, de Riemann, Poincaré, Helmholtz ou Mach : la logique mathématique s’imposera comme nouvelle discipline mathématique et, en développant la notion de repré­sentation ou codage finitaire (Gôdel) et de calcul effectif (Herbrand, Gôdel, Turing, Church…), elle sera à l’origine de l’informatique. C’est ainsi que l’objectivité des calculs logiques s’est en définitive trouvée réifiée dans les machines « formelle­ment et parfaitement logiques ». Ce sont justement, d’un côté, les succès et les limites mêmes des analyses et des applications fondées sur « le traitement finitaire de suites finies de symboles » et, de l’autre, les progrès des neurosciences cognitives de l’es­pace qui nous poussent à aller au-delà des dogmes formalistes et à reprendre dans ce nouveau cadre certaines des idées esquis­sées par Riemann, Poincaré, Weyl et Enriques sur l’origine cognitive de la géométrie. Cette origine peut complètement renouveler la question épistémologique des fondements.

De façon plus précise, on peut dire que le projet de réification de la rationalité dans des « règles formelles » a été à la base de l’invention des ordinateurs, dans les années trente et qua­rante : les suites finies de symboles, en tant que codage d’axiomes et de règles de déduction, permettent de manipuler d’énormes quantités de données. L’intelligence s’est transfor­mée en la manipulation finitaire des suites finies de 0 et 1.

Malheureusement, ce projet, bien que très efficace, s’est heur­té à des limites bien précises. En fait, derrière les résultats d’in­complétude, que le logicisme et le formalisme eux-mêmes ont su nous donner, il y a la praxis humaine de la démonstration, qui utilise largement des références directes de l’espace (mental et physique) : ce qui « manque » à la déduction formelle ou mécanique, c’est le bon ordre géométrique dans lequel nous rangeons les nombres dans nos espaces mentaux, ce sont les jugements explicites sur le continu spatial, sa connexion, les symétries, les analogies entre formes et mouvement. On a sou­vent « caché » ces pratiques conceptuelles sous une référence vague à l’intuition. Il est temps de développer une analyse scientifique, en termes « cognitivistes », de ces aspects implicites du raisonnement, en particulier spatial, aussi rationnels que ceux gouvernés par les « règles logico-linguistiques finitaires ».

C’est pourquoi le rôle des topologies et de la géométrie en logique — avec ses origines cognitives — doit être réaffirmé. Il est déjà présent dans les structures topologiques et les topoï pour la logique intuitionniste, avec leurs applications à l’informatique initialement proposées par D. S. Scott, et, surtout, grâce aux idées très originales de J. -Y. Girard en théorie de la démonstra­tion (la logique linéaire, en particulier, où la géométrie ne concerne pas seulement les structures sous-jacentes, mais entre aussi « par la fenêtre », dans la structure elle-même des preuves, par les « réseaux des preuves »).

C’est d’ailleurs l’informatique même qui l’exige, et cela pour au moins deux raisons différentes :

  1. Les nouveaux défis posés par l’informatique font intervenir de façon essentielle une composante géométrique totalement nouvelle. Ils sont en effet dus aux systèmes distribués, concur­rents, asynchrones. Or, la distribution, la concurrence et l’asyn­chronie sont des problèmes avant tout géométriques, car ils se posent tout d’abord dans l’espace et dans le temps. Leur analy­se devrait donc se baser sur une refonte de l’approche fonda­tionnelle des mathématiques qui met également au centre l’ana­lyse des rapports entre géométrie et espace physique. L’essor remarquable des systèmes de calcul dans lesquels l’espace et le temps jouent un rôle central est mal représenté par certaines variantes des langages et méthodes essentiellement séquentiels.
  2. Les difficultés immenses auxquelles s’est trouvée confron­tée l’intelligence artificielle, en particulier la robotique, dans la simulation des tâches humaines ou animales les plus simples, en particulier lorsque le rapport à l’espace et au mouvement y est central.

Alessandra Carbone: Pathways of Deduction

Modus Ponens says that if you know A and you know that A implies B, then you know B. This is a basic ride that we take for granted and use repeatedly in building proofs in mathematics, but there is a gem of a theorem in logic by Gentzen to the effect that it is not needed in some logical systems. It is fun to say `You can make proofs without lemmas’ to mathematicians and watch how they react, but our true intention here is to let go of logic as a reflection of reasoning and move towards combina­torial aspects. Proofs contain basic problems of algorithmic complexity within their framework, and there is strong geo­metric and dynamical flavor inside them.

We discussed examples when the geometric structure under­lying proofs is not of a hierarchical nature and survey what is known on the presence of ‘cycles’ in proofs.

 


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