Modèles de stochasticité spontanée pour la turbulence
Participants
Laure SAINT-RAYMOND (IHÉS – Lyon, France), Jean-René CHAZOTTES (École polytechnique – Palaiseau, France), Jérôme BUZZI (Institut de Mathématique d’Orsay – Orsay, France), Bérengère DUBRULLE (Service de Physique de l’Etat Condensé UMR CNRS – Gif sur Yvette, France), Isabelle GALLAGHER (Université Paris Cité – Laboratoire MPQ – Paris, France), Xavier LEONCINI (Aix-Marseille Université), Simon THALABARD (Laboratoire Inphyni – Université Côte d’Azur – Nice, France), François GOLSE (École polytechnique), Thierry BODINEAU (IHÉS – Bures-sur-Yvette, France), Jérémie BEC (Laboratoire Inphyni – Université Côte d’Azur – Nice, France)
Résumé

La stochasticité spontanée décrit l’apparition de comportements aléatoires dans des systèmes déterministes, mais fortement instables. De très faibles perturbations peuvent ainsi influencer fortement l’évolution du système à grande échelle. Cet atelier interdisciplinaire a réuni physiciens et mathématiciens pour mieux comprendre les mécanismes en jeu, en particulier le rôle des instabilités, des interactions à longue portée et des effets de mémoire, ainsi que l’apport de modèles simplifiés pour en isoler les mécanismes essentiels. Ces travaux visent à améliorer la compréhension et la modélisation de phénomènes complexes tels que la turbulence.
Abstract
Spontaneous stochasticity describes the emergence of random behavior in deterministic but highly unstable systems. Tiny perturbations can have large-scale effects due to strong instabilities. This interdisciplinary workshop brought together physicists and mathematicians to investigate the underlying mechanisms, including long-range interactions, memory effects, and the role of simplified (toy) models in isolating the key mechanisms. These efforts aim to improve the understanding and modeling of complex phenomena such as turbulence.
- Un atelier prospectif interdisciplinaire
La « stochasticité spontanée » décrit un phénomène omniprésent en physique, notamment en lien avec la turbulence. Dans des systèmes complexes a priori déterministes, on observe souvent un comportement aléatoire à l’échelle macroscopique, qui émerge de la combinaison de fortes instabilités et d’un bruit infinitésimal. Ce phénomène est ainsi associé à un mécanisme de cascade inverse, par lequel une information à peine perceptible aux petites échelles se propage vers les grandes échelles.
Cette théorie, formulée dans les travaux pionniers de Gawędzki et collaborateurs à la fin du siècle dernier, demeure encore mal comprise. Une meilleure compréhension nécessite une approche véritablement multidisciplinaire, mobilisant la physique théorique et expérimentale, les simulations numériques, les équations aux dérivées partielles, les probabilités et les systèmes dynamiques.
L’objectif de cet atelier était précisément de mettre en dialogue ces différentes communautés afin de dégager des perspectives de recherche. De manière tout à fait inattendue, il a également trouvé un écho avec le séminaire organisé en parallèle, consacré aux points de bifurcation historiques et économiques et à la multiplicité des trajectoires possibles.
- De l’observation à la modélisation
La stochasticité spontanée se manifeste sous des formes variées, mais elle se caractérise par plusieurs marqueurs robustes : irréversibilité temporelle, diffusion et dissipation anormales, apparition de singularités en temps fini, et prédictibilité limitée par un horizon fini.
Une première approche consiste à suivre les trajectoires de particules marquées. Lorsque ce transport a lieu dans un champ très irrégulier, on observe le phénomène de stochasticité spontanée lagrangienne : les trajectoires se séparent instantanément, ce qui se traduit par une perte d’unicité et de régularité des solutions des équations associées. L’ajout d’un bruit infinitésimal permet alors de désingulariser les équations et d’identifier un processus stochastique limite. Autrement dit, l’objet mathématique pertinent n’est plus une trajectoire individuelle, mais une mesure de probabilité sur l’ensemble des trajectoires, dont la dispersion spatiale encode la diffusion anormale.
Une seconde approche repose sur la décomposition du champ de vitesse eulérien en modes de Fourier. Lorsque les petites échelles jouent un rôle dominant, on met en évidence le phénomène de stochasticité spontanée eulérienne. Les équations deviennent alors mal posées : une perturbation infinitésimale peut modifier l’ensemble de la dynamique, ce qui impose l’introduction de « conditions de bord à nombre d’onde infini ». Là encore, l’ajout d’un bruit infinitésimal permet de désingulariser les équations et de faire émerger une mesure limite. Une question naturelle est celle de l’universalité de cette mesure, c’est-à-dire de son indépendance vis-à-vis de la régularisation stochastique choisie.
- Émergence dans les systèmes de particules et théorie cinétique
Les équations de la théorie cinétique collisionnelle (équations de Boltzmann et de Landau) modélisent la dynamique d’un gaz dont les particules subissent des collisions aléatoires, et peuvent être interprétées comme un transport sur une superposition de trajectoires aléatoires. Elles décrivent ainsi le phénomène de stochasticité spontanée lagrangienne.
On sait notamment que l’équation de Boltzmann décrit asymptotiquement la dynamique d’un gaz de sphères dures, et que sa version linéaire décrit celle du gaz de Lorentz, dans la limite de faible densité et de volume exclu négligeable. La forte instabilité dynamique liée à la petitesse du rayon des particules engendre une déflexion aléatoire après collision. Ces résultats reposent sur la propriété de propagation du chaos, selon laquelle deux particules en collision sont presque toujours dynamiquement décorrélées.
Cependant, cette propriété échoue dans certains cas, comme le gaz de Lorentz périodique ou le modèle de Uchiyama, en raison d’effets de mémoire. Ces contre-exemples suggèrent que la stochasticité spontanée lagrangienne est intimement liée à des propriétés de mélange encore mal comprises.
On peut également obtenir l’équation de Landau linéaire à partir de la dynamique en temps long d’une particule marquée dans un gaz en régime de champ moyen. Le résultat correspondant de propagation du chaos nécessite de contrôler, outre les recollisions, les effets de mémoire induits par les interactions de longue portée : même lorsque la particule explore de nouvelles régions, elle reste faiblement corrélée avec celles déjà visitées, et ces corrélations, bien que faibles, peuvent s’accumuler au cours du temps. La généralisation au cas où toutes les particules interagissent (équation de Lénard-Balescu) demeure à ce jour largement ouverte.
- Modèles pour la turbulence fluide
Comprendre la turbulence fluide constitue un enjeu majeur, notamment pour les modèles climatiques. L’approche lagrangienne consiste à étudier le transport dans des champs singuliers, en commençant par le transport passif. Le modèle de transport-diffusion dans un champ incompressible multifractal avec corrélations à longue portée, proposé par Armstrong, Bou Rabee et Kuusi, met en évidence la superdiffusion prédite par Bouchaud et Georges, ainsi qu’une forme de régularisation anormale.
Du point de vue eulérien, une première approche consiste à analyser les spectres d’énergie et les phénomènes de cascade. Divers modèles en couches ont été proposés. Celui de Raibekas et Mailybaev constitue une épure qui isole les mécanismes essentiels conduisant à une indétermination liée à la cascade inverse, et donc à une perte de prédictibilité en temps fini. L’hyperbolicité du transfert entre échelles y joue un rôle clé dans la régularisation stochastique.
Une seconde approche repose sur la formulation en vorticité des équations bidimensionnelles de la mécanique des fluides. Dans ce cadre, un modèle de points vortex avec division spontanée a été proposé, analogue à un écoulement de faible viscosité.
- Quelques pistes de recherche
Ces discussions ont fait émerger de nombreuses questions, dont voici quelques exemples :
– Quel est l’aléa minimal à introduire dans la distribution d’obstacles du gaz de Lorentz pour obtenir l’équation de Boltzmann dans la limite de faible densité ?
– La hiérarchie des cumulants pour le gaz de sphères dures possède-t-elle une structure en couches permettant d’identifier des cascades (lien entre propagation du chaos, prédictibilité et analyticité de la série génératrice, possibilité de régénération du chaos par cascade inverse) ?
– Quelle est la robustesse du modèle de Raibekas-Mailybaev, qui néglige en l’état les rétroactions des grandes échelles vers les petites échelles et suppose la linéarité ?
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
ldiebold (13 avril 2026). Modèles de stochasticité spontanée pour la turbulence. Les carnets de la Fondation des Treilles. Consulté le 15 mai 2026 à l’adresse https://doi.org/10.58079/161zm

