L’effet des structures quasi-cristallines sur la structure d’équilibre lors de la séparation de phases
Résidence de recherche organisée par Riccardo Cristoferi, du 13 au 17 octobre 2025.
Participants
Riccardo CRISTOFERI (Radboud University – Nijmegen, Pays-Bas), Lorenza D’ELIA (TU Wien – Vienne, Autriche)
Résumé

The image of a Penrose tiling (from Wikipedia, by Przemek Majewski)- Own work, CC BY-SA 4.0), which is connected to the notion of quasi-crystals that are the focus of our research at the Fondation des Treilles.
L’interaction entre la microstructure apériodique et les séparations de phases suscite un intérêt croissant depuis quelques années en raison de ses nombreuses applications industrielles et physiques. Une compréhension rigoureuse des mécanismes qui régissent ces phénomènes complexes est aujourd’hui très recherchée.
Summary
The interplay between aperiodic microstructure and phase separations has drawn increasing attention in recent years due to the wide range of industrial and physical applications. A rigorous understanding of the mechanisms governing such complex phenomena is in high demand.
Compte rendu
Etat de l’art
Les phénomènes de séparation de phases sont omniprésents dans la nature. On peut citer, à titre d’exemple, la décomposition spinodale dans les alliages métalliques, la modification de la structure cristallographique des métaux et les altérations des structures moléculaires. Compte tenu du large éventail d’applications physiques et industrielles dans lesquelles on observe des séparations de phases, il est primordial de comprendre les différents mécanismes qui régissent ces processus complexes. De nombreux modèles physiques ont été proposés au fil des ans pour rendre compte du comportement de ces phénomènes, et des études analytiques ont permis d’acquérir une quantité considérable de connaissances. C’est pourquoi l’étude théorique des séparations de phases reste aujourd’hui un domaine de recherche actif au sein de la communauté mathématique. Dans le cas particulier des séparations de phases liquide-liquide, le modèle variationnel privilégié a été proposé par van der Waals, puis redécouvert indépendamment par Cahn et Hilliard. Cette théorie s’articule autour de l’´etude de ce qu’on appelle la fonctionnelle d’énergie de Modica-Mortola (souvent désignée sous le nom d’´énergie libre de Ginzburg-Landau dans la littérature physique), qui constitue le fondement du modèle dans ce domaine.
Une hypothèse fondamentale de l´énergie de Modica-Mortola est l’homogénéité des milieux. Une telle hypothèse restrictive empêche la modélisation de composites hétérogènes, largement utilisés par les spécialistes de la science des matériaux. L’analyse de l’interaction entre ces composites et les séparations de phases n’a ´été réalisée que récemment pour des milieux présentant une microstructure périodique dans plusieurs régimes physiques. Elle s’appuie sur la théorie de l’homogénéisation, dont l’objectif est de décrire le comportement macroscopique des milieux étudiés.
Bien que l’homogénéisation périodique permette de décrire de manière satisfaisante le comportement de nombreux milieux hétérogènes, il existe des matériaux dont les microstructures ne présentent aucune périodicité. On peut citer comme exemples les composites à microstructures aléatoires et les quasi-cristaux. Ces derniers sont des structures ordonnées présentant une symétrie interdite pour les structures périodiques, telle que les symétries de ordre 5, 7, 8 et 10. Les matériaux quasi-cristallins ont suscité un vif intérêt ces dernières années grâce à leurs propriétés uniques qui les rendent particulièrement intéressants dans de nombreux domaines d’ingénierie, tels que les composites de revêtement. Il est donc nécessaire de comprendre l’interaction entre les microstructures quasi-cristallines et les transitions de phase afin de tirer parti des caractéristiques uniques de ces matériaux innovants. D’un point de vue mathématique, aucune analyse rigoureuse n’a été menée à ce jour.
La question de recherche
Les axes de recherche étudiés visent à répondre à la question fondamentale suivante :
Comment les hétérogénéités quasi-cristallines à petite échelle (qui sont des structures ordonnées ne présentant ni périodicité ni caractère aléatoire) peuvent- elles influencer les séparations de phases (liquide-liquide) ?
On s’attend généralement à trois régimes différents, en fonction de la taille relative de la microstructure et de la taille mesurée de la zone de transition de phase. L’objectif de notre étude est de comprendre ce qui se passe dans le cas le plus particulier des trois, à savoir lorsque cette dernière est nettement plus petite que la première.
Nous avons pu analyser de manière rigoureuse l’effet des structures quasi- cristallines sur les formes d’´équilibre prédites par la théorie du gradient de la séparation de phases liquide-liquide. En gros, la zone de transition se situe à l’endroit le plus propice pour minimiser une combinaison appropriée entre la longueur de la surface et l’énergie nécessaire pour créer une telle surface à un endroit donné.
Nous étendons actuellement les résultats obtenus dans cette étude à d’autres régimes.
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
ldiebold (30 mars 2026). L’effet des structures quasi-cristallines sur la structure d’équilibre lors de la séparation de phases. Les carnets de la Fondation des Treilles. Consulté le 23 avril 2026 à l’adresse https://doi.org/10.58079/15ywl

