La topologie algébrique du point de vue de Poincaré

Séminaire organisé par Etienne Ghys (ENS Lyon) et Nicolas Bergeron (Institut de Mathématiques de Jussieu, CNRS, Paris) du 7 au 12 juillet 2014

Participants

Aurélien Alvarez, François Béguin, Nicolas Bergeron, Michel Boileau, Maxime Bourrigan, Bertrand Deroin, Sorin Dumitrescu, Hélène Eynard-Bontemps, Charles Frances, Damien Gaboriau, Etienne Ghys, Grégory Ginot, Anne Giralt, Julien Marché, Luisa Paoluzzi, Patrick Popescu, Nicolas Tholozan, Anne Vaugon

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Résumé

Ce séminaire a réuni 18 mathématiciens dans le cadre d’un projet de rédaction collective d’un cours de master recherche d’une forme originale. Il s’agira d’un site internet contenant des textes, des séquences de cours filmées et des animations en images de synthèse.

Ce travail a commencé en avril 2013. Cette semaine aux Treilles est la troisième rencontre du groupe dans son ensemble. Nous espérons que le travail sera terminé en 2015.

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Compte-rendu

Le projet

Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré a fondé la topologie algébrique (alors appelée Analysis Situs) en publiant une série de six mémoires révolutionnaires.

Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent,… mais les objets ne sont jamais définis précisément, et les erreurs sont fréquentes.

L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles.

Quelques historiens ou mathématiciens modernes ont cherché à analyser ces textes fondamentaux mais les articles sur ce sujet sont relativement courts, ne proposent pas une étude détaillée, et surtout sont destinés aux experts.

Pourtant, près de 130 ans plus tard, le contenu de ces mémoires reste d’actualité, et l’assimilation des concepts introduits par Poincaré constitue un passage obligatoire pour les étudiants de niveau master qui étudient la topologie. Mieux encore, le plan général de la présentation de Poincaré est parfaitement adapté pour un cours moderne de topologie. Il va de soi que tel ou tel aspect ne se s’aborde plus de la même manière aujourd’hui et qu’on dispose souvent d’outils beaucoup plus efficaces pour comprendre certains points. Evidemment, la topologie a fait beaucoup de progrès par la suite, mais on ne peut les assimiler qu’à travers les concepts et résultats de Poincaré. Nous considérons que ces six mémoires, mis au goût du jour, sont une parfaite introduction à ce sujet important dans les mathématiques d’aujourd’hui.

Notre projet est de produire un objet pédagogique d’une nature nouvelle, permettant à l’étudiant d’acquérir une vision contemporaine du sujet à travers une approche historique.

Il s’agit d’élaborer un site internet, contenant quatre parties.

La première partie contiendra le texte original de Poincaré, accompagné de petits boutons « pop up » signalant les erreurs mineures, les changements de terminologie, qui sont si fréquents chez Poincaré et gênent souvent la lecture du débutant.

La seconde partie sera un commentaire très proche du texte, expliquant en termes modernes l’approche de Poincaré, n’hésitant pas à décrire les sources historiques. Chaque paragraphe de cette partie sera relié d’un clic au paragraphe correspondant du texte source.

La troisième partie sera un véritable cours moderne de topologie, niveau master, qui suit le même plan que le texte source, mais dans lequel la présentation, le style, les démonstrations et les méthodes employées seront celles du 21ème siècle. Là encore, d’un clic l’étudiant pourra comparer les paragraphes correspondants dans les deux premières parties. Ce cours moderne, dont le volume total devrait être de l’ordre de 800 pages, s’appuiera sur de très nombreux exemples, dont beaucoup seront présentés à l’aide d’animations réalisées en images de synthèses.

La quatrième partie sera constituée par une quarantaine de séquences de cours enregistrées en vidéo. Les enseignants seront les dix-neuf membres de notre groupe. Bien entendu, ces séquences vidéos et le cours écrit, s’ils porteront sur les mêmes objets ou concepts, présenteront des aspects bien différents, comme il est de coutume dans l’enseignement…

Les participants

Notre équipe contient dix-neuf membres (dont 18 étaient présents aux Treilles), répartis à peu près uniformément dans la carrière universitaire. Trois doctorants ou post-doctorants, 7 jeunes maîtres de conférences ou chargés de recherche, et 9 professeurs ou directeurs de recherche.

Le déroulement du séminaire aux Treilles

Le travail est décomposé en un certain nombre de « chapitres ». Chaque matinée était destinée à la discussion collective de l’état présent de la rédaction d’un des chapitres. Les après-midi étaient destinés au travail en petits groupes sur des questions plus précises. En soirée, nous avons visionné et commenté quelques-unes des vidéos qui ont déjà été enregistrées à l’Université Paris 6.

Le domaine des Treilles est véritablement un lieu exceptionnel pour ce genre de travail. Tous les participants ont apprécié le lieu, les conditions de travail et la qualité de l’accueil. Nous remercions chaleureusement tout le personnel. On reviendrait volontiers !

Les suites du séminaire aux Treilles

En janvier 2017, le site Internet objet de cette rencontre est officiellement ouvert à l’adresse suivante : http://analysis-situs.math.cnrs.fr

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